I 



Beiträgk zi'R Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung " 63 



wodurch schliesslich folgende Gleichung entsteht ; 



0 = (3*/H- l){y~a- — l)[y'-^{^' — 2)y-h — x 1] 



— (if-h- x' —l)[2y'~ {X H- 4)«/ -H -f- 2] 



— \y-^{x—2)y-^x-^ l]{y"—-2y — 2x'-i~ 1), 



welche der Leser identisch richtig tinden wird. 



Auch möchte es zweckmässig sein, nochmals auf die im §16 behandelte allgemeine 

 Gleichung zurückzukommen, um sie in ihrer vereinfachten Gestalt vollständig zu ent- 

 wickeln. Sind nämlich drei lineare Lösungen vorhanden von solcher Beschaffenheit, dass 

 der früher mit A bezeichnete Ausdruck von Null verschieden ist, so lässt sich die Diffe- 

 rentialgleichung durch eine lineare Substitution in eine andere verwandeln, welche fol- 

 gende Lösungen hat: (/.—0, y^ — x^ y^ = ax -t- so dass a und ß endliche bestimmte 

 Grössen sind, beide verschieden von Null und a auch noch verschieden von 1. Dieser 

 erste (allgemeine) Fall der vorliegenden Gleichung verdient nuch näher betrachtet zu 

 werden. Damit er bestehe, müssen M und iV folgende Form haben : 



M = — (6, -ь- Ь^) y — {а^ Ь, -+- Ь^) ху -ч- а.у- 



N = Ь,^х -+- Ь^у Ь^х^ ~\- Ь^ху и- b^y'. 



Hier sind 63, б^, ffj. willkürlich, jedoch weder 6^ noch 6, = 0; aber ist bedingt 

 durch die Gleichung 



В ' 



WO ß = H- b^){b^^ -t- b^ -H a^) — 63 6j, von Null verschieden sein muss. Ferner ist 



alles den Entwickelungen des § 16 gemäss. Alsdann sind die oftgenannten Quotienten 

 (/.2, ^3 C(»nstant, und zwar erkennt man sogleich ihre Werthe, nämlich: 



^1 â ' ^2 ~ ' % a(a —~V) ■ 



Wünscht man jedoch den aus anderweitigen Gründen gezogenen Schluss, dass jene Quo- 

 tienten unabhängig von x sein müssen , durch die Rechnung noch nachträglich bestätigt 

 zu sehen — und solchem Wunsche entgegen zu kommen ist der Zweck dieser Anmer- 

 kung — ; so hat man : 



N^ = {b^-^ b.^x)x, <i^'y^=(ixx ^)x, 



= [6, H- 6, H- (63 -H 6,_ H- 6„) x\ X , ф'г/., = ( 1 — 7.1 — ;3 , 



= b^x H- b,^(rix -H -H b^x' -»- b,x(oLX -1- 6„(аж ß)\ 



' ф'«/з — (ал; -H ß) [(a — l).r=4-ß]^ 



