Beiträgk zur Integration der Differentialgleichuivgen erster Ordnung. 65 



§ 19. Um einen einfachen Fall anzugeben, dessen vorläufige Lösungen nicht mehr 

 linear sind , sei : , 



M = a bx -b- cx^ H- fo^ [g -\- hx) y 

 ]S =a^-^b^x-\-c^x^-i-g^y\ 

 Mdx-\-Ndy=0. 



Diese Gleichung kann zwei Lösungen haben von der Form : 



= -уж^ H- ßx -t- a ; 



damit solches stattfinde , müssen folgende Bedingungen bestehen : 



н-(Л-н2с,)у-ь/-^0 

 c-H(26,-Hy)v-4-(/iH-c,-H3^j)ß = 0 

 b -»- (6, ß -t- -+- 2 ЙД -H [h -t- 2^ j) a = 0 

 «H- a,ß-i-(^-i-^,ß)a = 0. 



Die erste Gleichung giebt zwei Werthe von y, da man die Annahme g^ = 0 von vorn 

 herein ausschliessen kann, weil durch sie die Gleichung nach y linear werden würde; es 

 könnte daher auch ohne Nachtheil sofort 5', = 1 gesetzt werden. Die zweite Gleichung 

 giebt ß durch у und die dritte а durch ß und у ; endlich muss die vierte für beide у und 

 ihre zugehörigen ß und а erfüllt werden. Man erhält also : 



nebst den Bedingungen : , 



а -I- a,ß, -+-- ^,ß,) a, = 0 , а o^ß^ -н {g -ь ^^ß^) = 0. 



In den obigen vier Gleichungen füge man den 7, ß, а zuerst überall den Zeiger 1 und 

 sodann den Zeiger 2 bei und ziehe jede zu 2 gehörige oder zweite Gleichung von der ent- 

 sprechenden ersten ab , so folgt : 



0 = (T— T,)^-*-(ß — ß,)/' ■ ■ H-2(T— T,)6,-H(ß, — ß,)c,-H3(T,ß, — Y,ß,)^, 

 0= . н-(у_у^)Л . . _^2(Y— y,)c,h-2(t;^ — y./) 



0 = (ß,-ß,)^-*-«x— S)/'-^2(Y-T.J«,-t-(ß— ß,)^ • H-(ß,^-ß,;-+-2aj -2а,д.;^^ 

 0 = (a— a,)^ . _H (ß^— ß.>, . . H- (a^ß^—a^ß.^)^^ 



Diese Gleichungen multiplicire man der Reihe nach von oben an beziehungsweise mit 

 den Faktoren 



.Mémoires de l'Acad. Imp. des Sciences, Vllmo Série. 9 



