66 Dr. Ferd. Minding, 



f\ = — 2{a.—a^) (Т, — 



/; = — 2(Т, — 



und addire die Produkte, so kommt: 



0 - (T, - YJ [(ß, — — 4 (a, — a^) (y, ~ T,)] -н (ß, -ь ß^) ^,]- 



Dieses bemerkenswerthe Ergebniss bedarf nur in Betreff der enthaltenden Glieder 

 noch eines näheren Nachweises. Die Summe dieser Glieder ist, wenn (7, — 1ч)9\ als Ge- 

 meintheiler gestrichen wird , folgende : 



— 6 (a, — a^) (Y,ß; — Y-^ß.) 2 (a, - a^) fß, — ßj (7, x^) 



(ß,' — ßo') (ß, — ß,> -b 2 (a,Y, — a,YJ (ß, - ßj 



— 2(a,ß, — a^ß,)(Y, — YJ- 



Die beiden ersten Glieder vereinigt geben : 



2 (a, — a,) (ß,Y^ - ß.^, — 2ß,Y, н- 2ßj.,); 



die beiden letzten : 



2 [(ß, - ß,) Y, — ß,(T, — Ï2)] — 2 S [{ß, — ß,) Y2 — ß2 - TJ] = 2 (a, — aj (ß - ß^y,) ; 

 also geben diese vier Glieder zusammen : 



2 (a, — aj (2ßj, - 2 ß.j, - 2 ßj, 2ß,Y,) = 4 (a, - a^) (7, - y,) (ß, ß^); 

 dazu das fünfte Glied : 



(ßi' - ß/) (ßi — ß-.) (ß — ß2)' (ß, ^ ß^) ; 



so erhält man die obige Summe 



= [(ß, - ßJ' - 4 (a, — %) (Y, - V] (ß , ß2) , 



wie behauptet wurde. 



Die gefundene Gleichung zerfällt in drei Faktoren, von denen wenigstens einer gleich 

 Null sein muss, wenn die vorausgesetzten beiden Lösungen wirklich stattfinden sollen. 

 Der erste Faktor verschwindet, wenn У| = у^, der zweite, wenn — y^ = (^^ — '^2^^^ 

 -H(ß, — ß.,)ic-t-a, — ein Quadrat ist; also folgt: 



Wenn die gegebene Differentialgleichung zwei Lösungen von der angenommenen 

 Form hat, worin y, von Y2 verschieden ist, und wenn zugleich der Unterschied jener bei- 

 den Lösungen — kein Quadrat ist, so ist nothwendig: 



,9 4-6,-f-(ß,H- ß^)^, = 0. 



