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Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 67 



Unter diesen Voraussetzungen lässt sich sogleich die in § 3 im Allgemeinen bezeich- 

 nete Schlussweise anwenden. Es sei ^ = {y — y^)iy — y.,^, so wird durch Zerlegung der 

 ^ und ^ in einfache Brüche der Ausdruck ^JLi^l^^ verwandelt in die Form : 



Mdx H- Ndy Ni d{y - y^) iV^ d(y — y^) , 



Ф 2/1 — 2/2 У — Уі Уо — Уі г/ — 2/2 



Nun ist leicht zu sehen, dass — J— und — ^ constant sind. Denn es ist y, — ы, ein 

 Polynom zweiten Grades und kein Quadrat; setzt man also y^—y^= (у^ — ж') (^c— a;"), 

 so ist x' verschieden von x"; auch ist 7^ — nicht gleich Null, nach der Voraussetzung. 

 Ferner wird für x = x\ y^ = y^^ mithin auch M^ = M^ und Л^^^^Л^; daher hat man für 

 x = x' : 



M^4~N^^^^0 und M^-t-Ä\^ = 0 



d. h. 



H- iV, {2^/ H- ß,) 0 und Л/, H- {2r/ ß,) = 0. 



Da aber y^ — y.^ kein Quadrat ist, so sind auch die Werthe von und ^ für x = x 



sicherlich von einander verschieden ; denn es ist bekannt, dass ein Polynom zweiten Grades 

 wie y^ — 6ІП Quadrat sein müsste, wenn für x = x' mit ihm zugleich seine Ableitung 

 verschwinden sollte; folglich ist 27,a''-+-ß, von 2^,^x-t-i^^^ verschieden und es ergiebt-sich 

 daher sofort : M^ = 0, N^ — 0 für x = x. Da derselbe Schluss auch für x — x" gilt, und 

 da x" von x verschieden ist, so ist iV^ theilbar durch das Produkt (x — x'){x — x")^ und 

 da N^ = a^-\- b^x -+- c^x' -л- д^у^ = я, -ч- а, н- (б^ д^^^)хч~ (с^ ч- ^j, ) х^ den zweiten 



Grad nicht überschreitet, so ist der Quotient -, -, constant, oder es ist — = . 



' ^ (x — x){x~x) ' 2/1 — 2/2 ^ ' 



und zwar (/, — ^і-^^і^ wie sogleich ersichtlich ist; und ebenso ist - = q = "^■'^'^- r 



Yi - Y2 ' ^ ' , 2/2-2/1 Vo — Y, ' 



also schliesslich : 



Mdx -t- Ndy _ ^ d, {y^Jh) _^ 'L'^__ZZyÀ 

 Ф У — Уі ^'^ 2/ — 2/2 ' 



§ 20. Wenn dagegen zwar y, verschieden von 7,,, aber ?/, — y,^ ein Quadrat ist, so 

 kommt die Aufgabe gänzlich auf die des § 1 1 zurück, wo sich der integrirende Faktor und 

 das Integral selbst schon angegeben finden. Wird in den dortigen Ausdrücken für dil und O, 

 anstatt X und noch q für с geschrieben, so hat man: - 



■2(kd.,x-^ дх^^1-+-'^^1-^1) ydx -4- [ kd^x''- — (g , -I- Ö2) ky — 7^2§^-»-25^ч-2]^ _ /о 



oder 



il = k.y-'^iy-Cc'r'-^-q\^^,-:;^ für i = l,. 



