Beitkäge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 71 



9) . . . M = a -i- 2 a; -t- 2x^^ -i- (g -t- 4x)y , N = ч- {g ч~ k) x x' -i- y; 



Mdx-^Ndy = 0. 



Bedingungen : 



54 а = 4 H- 54^ — 1 2Â" — 27/ H- 8 

 36a, = 48 — 36^ — 24A-I- 9/-t- 18^Ah- 8Al 



Diese Gleichung hat folgende Lösungen : 



2 2 — 63 — 4ft „ 2 



2/i==a,— 3^, У2 = ^2-^ 1 a; — 2ж, 



wo 



б^н-ЗА: — 11 — 26-i-24sf-i-14fc — 9g2_i2gA;- 



"■1 " 9 ' ^ i ~ 18 ' 



Demnach ist г/, — y.^ = 2{x-i-^^'^ ^J'~ ^ J, also y^ — ein Quadrat. Da hier = 0. 



T, = — 2 . ? =^ — 2 , >^ = ^ ^ I — I , «/-2 = 2/, — 2 (ж -H , p = — (2g-i~k- ''-^^^^ 



к 1 



oder p = -^, r= — j, so wird zufolge der vorausgeschickten Erläuterungen: 



-, —,=diV, 



— ViY {y — УгУ 



fïir/-^-^^ 



ist 



3 



3) Das Integral der Gleichung 



[a-\- bx — x^ {] - — öx)y^dx -i- {a -\- x -\- 2x^ y) dy = 0 



[ij X — --^) = -f- ^ H- -H " . (f die Constante). 



§ 22. In Betreff der Anwendungen auf höhere Grade der M und N werde ich mich 

 hier nur auf einen Fall beschränken, welcher innerhalb des dritten Grades dieselbe Stel- 

 lung einnimmt, wie die Jacobi'sche Gleichung für den zweiten. 



Es sei {A) = a a^x a^y -+- a^x^' -\~ a,xy a^y' 



[B) = b -+- b^x -+- b^-i- b^x^ b,xy 



(C) = c^x' -+- c,xy 



(A) dx [B) dy-h-(C) [ydx — xdy) = 0 oder Mdx -+- Ndy = 0. 



Dem (C) hätten auch noch die Glieder с c^x -л- c^y beigefügt werden können, doch hätte 

 deren Produkt mit ydx — xdy nur Bestandtheile ergeben, welche sich mit den gleichartigen 

 in {A) dx und (ß) dy vereinigten und also einer gesonderten Darstellung nicht bedurften. 



