Be!träge zur Integration der Differentialgleicbungen erster Ordnung. 73 



Die erste giebt 



a _ (Да -H Ь^) -ч- (д^ -t- 63) g ■ 



und dieser Werth in die zweite gesetzt führt auf folgende Gleichung vierten Grades für a: 



«5 K^fi («i ^з^ '^- — (^2^' [(ffg ^,) а' H- («, -ь 6J а а -ь- c,) 



-ь (6 а. -і- а) а и- r^f = О , 

 worin noch а^, о^, о^., h^, с^, с^. durch ihre obigen Werthe auszudrücken sind. 



Nun sei 4» = fi{y — ^^^~ß^)iy — — ^2^2/ — — ^з)ІУ — ^;,-^' — ß.b treten 

 in Ф die vier Wurzeln der Gleichung in а symmetrisch auf und es ist dalier ф eine ratio- 

 nale Funktion der sämmtlichen in der Differentialgleichung vorkommenden Constanten, 

 welche durch Multiplication mit einem passenden Faktor к in eine ganze Funktion jener 

 Constanten übergeht. Es ist nun aus dem Früheren genugsam bekannt, dass unter den ge- 



genwäi'tigen Umständen die Quotienten u. s. w. im Allgemeinen constant sein müssen, 



Ф 2/ 1 



nämlich so lange die vier Wurzeln a sämmtlich von einander verschieden sind und keines 

 der Produkte <])'y^. . . . durch ein Quadrat theilbar ist. Daher ist ф der integrirende Divisor 

 der Gleichung und das Integral erhält die bekannte Form; nämlich es wird: 



Mdx Ndy _ jQ^ dji j — ^ _^ ä (tj — y^) 



Ф i I 2/ — 2/1 ■ ■ ■ ■ У — Уі ' 



Allein auch in den angedeuteten Ausnahmefällen bleibt dennoch ф ein inteyrirender 

 Divisor und die Ausnahme bezieht sich nur auf die Form des Integrals, welche in solchen 

 Fällen eine andere wird. Denn es findet hier ein stetiger üebergang zwischen den beiden 

 unterschiedenen Fällen statt, indem eine unendlich kleine Aenderung an den ganz willkür- 

 lichen und von einander unabhängigen Constanten der gegebenen Gleichung hinreichen 

 würde, um eine bestehende Besonderheit auszutilgen und den allgemeinen Fall herzu- 

 stellen , wodurch der angegebene integrirende Divisor ф wieder herbeigeführt werden 

 würde. Dieser ist also ohne Ausnahme gültig, ebenso wie in den ähnlichen Aufgaben § 1 

 und § 17. 



Im Allgemeinen erhält man also — const. - u. s. f. Da IS in Bezug auf у nur 

 vom ersten, ф aber vom vierten Grade ist, so folgt aus der identischen Gleichung 



^ = — I- — ? H — — I — ^ , dass 7, -+- (1-^ п^-л- (Г 0 ist , so wie <i,y,~i- 



-H ij^^y^^ — о ; daher hat man : 



(/ , а, 7.^ а, н- -і- q,^ = О 



Mémoires dp l'Acnil. Imp. des Sciences, VUme Serie. 10 



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