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Die Differentialgleichung enthält 9 beliebig gegebene Constanten a, a^, b, b^, b^, b^, 

 [j-, von welchen jedoch eine aus den a oder b als Einheit angesetzt werden kann, also 

 8 beliebig gegebene Grössen. Demnach enthält auch das Integral О nur acht von einander 

 unabhängige constante Zahlenwerthe, wofür die vier Paare der a und ß zu nehmen sind; 

 durch diese werden die drei Verhältnisse zwischen den Exponenten 7,, 9^, q^, q,^ mittels 

 vorstehender Gleichungen bestimmt, eines der q aber bleibt ganz unbestimmt, weil es, wie 



die Form der Gleichung q, ^ ~ -1- q/^-^^~^ = 0 zeigt, eben nur auf die Ver- 



hältnisse zwischen den (/ ankommt. 



Bezeichnet man die oben aufgestellte Gleichung für а durch 



С (OL — ^^){^ — '^J — %){^ — =r С . cpa = 0 , 

 so ist С der dortige Faktor von a\ oder : 



С = {(L -+- bj [a.. ((f„ b,) — 



Ferner ist N^ = b -t- b^x 4- b.^y^-\- b^x' 4- b^xy^ — c^x^ — f,,^'!]^-, oder wenn für dessen 

 Werth rt^x-\- eingesetzt und nach Potenzen von x geordnet wird : 



A'i = — ((3 c,^'x,) x^ -b (63 -t- б^а, — c,_ß,) X- H- (6, -b 6.,a, -+- 6^_ß,) j- и- 6 н- ö^ßi • 



Da dieses Polynom theilbar ist durch ф'г/,, d. h. durch 



[(a, — a^) -+- ß, — ßj [(a, — л; -•- ß , — ßg] [(a, _ a,U -н ß, — ß J = ф'г/, , 



so wird : = - (''з __ - (c» -H c,aO 



/1 



Nun ist — — -, — г ; ■ • • -•- — r und ©a vom vierten Grade : daher : 



Ф ttj Ф a_, ' Ф «1 Ф ttg Ф а-з Ф ' 



dagegen 



1 





а, а. 





ф'а| ф'а2 





д.- , 



а,- а.2 

 1 ^ 1 — 







ф аз ф 









фС(і 



ф'а. 



ф'оСз ф'0'-4 



0: 



Hieraus ergeben sich wieder die obigen Gleichungen : q^-+- = 0, ^^'x, = 0; 



die dritte aber, nämlich 7,ß, -*-,...-+- g-^ß^^ =^ 0 führt auf eine neue Eigenschaft. Denn es 

 sei ß nach Potenzen von а entwickelt in die Form : 



ß = /( -f- /jjtt -•- //,,a" -H 



so folgt aus der unmittelbar vorhergehenden Gleichung : 



7 , (7;.^ а H- //3 а 1^ ) -t- 7.^ (Л.^ a^'^ н- а^) н- 7^ (Л., ' -н Л, а^^) 7^ (Л^ а^_"' //, гх^^) = О . 



é 



