Beitkäge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 



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^1 - f = 2/>, H- s,(i>,^ 1) - - ^ -^. 



Zur Bestimmung der fünf Grössen P^, P^, Q, i)^, sind demnach vier Gleichungen 

 gegeben ; ich will jedoch nur einige einfache Beispiele entwickeln. 



Setzt man D^ = 0, so wird die vorletzte Gleichung erledigt; nimmt man nun noch Z>, 

 willkürlich an, so lassen sich mittels der zweiten und vierten Gleichung P^ und durch Q 

 ausdrücken, und diese Werthe, in die erste gesetzt, geben für Q eine lineare Differential- 

 gleichung, woraus sofort gefunden und die Aufgabe gelöst wird. Es sei z. B. Z), = ajc'\ 

 so folgt 



P^œ.-^2Q=0, P^x-^P,^x'^4-Q-t-x = 0: 



daher 



p=-'-^, р^. = Я-^ 



2(? 

 j 







X 







dQ 







dx 



X 



X 



und 



— aQ — ал; = 0, 



wo für bloss £ gesetzt ist, oder 



dQ /г — 2 



— a\Q= аж, 



dx 



also 



Q^x'-'e^^'iC-^afx'-'e- °^ dx) 

 und mit diesem Werthe von Q : 



^(^9--l^y-2Qj^dx4-{Q-^y)dy 



ax- 



e~y~. у'-^.{у —x)^ 



da. 



Sei, um obigen Bedingungen noch auf eine andere Weise zu genügen, 2)^ = 0, D, = a, 

 so hat man 



P^-t-2P^x^l = Q, p^x-^P^x'-i-Q-t-x=0, 



dQ 



^ . P,-+-Ux — a)P^-i-B=0: 

 dx i ^ ' Ï 



daher 



folglich 



- a;- 1 x dx \ x x^ I ^ 



Q = {\ — t)x^-'-e--\C-^lx^-''e^dx)^ 



Mémoires de l'Acad. Imp. des Sciences, Vllmc Série. 



