Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 37 



worin die g und h bekannte Funktionen von x sind. Multiplicirt man die erste mit f, die 

 zweite mit , und setzt 



so kommt: 



d (fO) -4- d (/; c,) H- {fg, H- и Л,) dx = 0 



oder 



fO -i-f^Q^-i- jifg^ -+- f^\) dx = const. 



Hiermit würden Q und bestimmt sein, wenn es gelänge f und /, aus den vorhergehenden 

 Gleichungen zu finden. 



Diese geben , wenn f^ — f.r gesetzt wird : 

 daher 



g^-^h^r — {g4-hr)r=^j^ 



oder 



dr = [y^ -t- {h^ — g)r — Лг^] dx. 



Wenn man von dieser Gleichung eine einzige Lösung besitzt, sie sei r= r^, so kann 

 man daraus, wie Euler gezeigt hat, ihr vollständiges Integral herleiten. Da nämlich 



= [^1 -*- — 9)r,~ /tr,"] dx , 



so folgt 



d{r — r^) = (Aj — у — hr^ — /tr) (r — r^) dx 



oder 



d{r — Г|) — — g — 2 Лг, — Л (г — г^)] (г — г^) dx. 

 Dividirt mau nun mit (r — r,f und setzt z = — , so folgt 



— g — 2hr^)z — h]dx = 0; 



eine lineare Gleichung, welche z und damit r giebt, woraus dann leicht gefunden werden. 



Die Schwierigkeit vorliegende Aufgabe allgemein zu lösen, kommt also darauf zurück, 

 der obigen Differentialgleichung zwischen r und x auf irgend eine Weise zu genügen, was 

 nicht allgemein angeht. 



Wenn man aber auf vollständige Allgemeinheit verzichtend annimmt, dass a=0, 

 d. h. -H -H = 3 sei, so lässt sich die Auflösung durchführen. Nämlich es wird zuerst 



^=0, also = const. = k; alsdann bleiben noch 5 Gleichungen zwischen P, P^, P^, P^, 



0, 0,- Wird nun beliebig angenommen, und schafft man alle P weg, so folgt eine lineare 

 Differentialgleichung in durch deren Integration die Aufgabe erledigt wird. 



