34 Dr. F ERD. Minding, 



§ 11. Um sogleich eine Anwendung zu machen, sei die Frage: "Wie müssen die Funk- 

 tionen P, P,, von œ beschaffen sein, wenn 



(Р-^РуУ) dx-i-{Q-+-Q^ y) dy _ 



(y — УіЬ [у — Уг)^^ ' 



d. h. wenn der Ausdruck linkerhand ein vollständiges Differential sein soll? 

 Nach § 9 erhält man erstens die Gleichungen : 



i>-bP,j/,-^(C>H-(?,^/^ = 0 a) 



р-^р.у,-^{0-^0,уУ^ = о b) 



Ferner, da hier = G,^ P^^ — Д, = (), ist, muss sein : 



daher 



dx ' 1 



und wenn zur Abkürzung z^y^ -^^іУ^ — ^ gesetzt wird, so wie £, -t- — 1 = a. 



'^^^=.0, Q. = const. = k, 



0 = 4^-ьаР c) 



dx i dx ' 



Wird nun mittels der Gleichungen a und b (worin = k), P und P^ durch Q ausgedrückt, 

 und der Wertli von in с eingesetzt, so ergiebt sich eine lineare Differentialgleichung 

 für Q, durch deren Integration Q und damit auch P und P^ vollständig bestimmt werden, 

 womit die Aufgabe erledigt ist. 



Um überall weitläufigeren Formeln auszuweichen , will ich nur = 0 und y^=^ x 

 setzen, was um so mehr zulässig ist, als überhaupt durch einen Wechsel der veränder- 

 lichen Grössen die gegenwärtige Aufgabe immer auf diese einfachere Form zurückgeführt 

 werden kann. Man erhält alsdann nach einigen ganz leichten Umrechnungen folgende 

 Gleichung, in welcher noch für e, und 1 -н S.^ für gesetzt ist, nämlich : 



{k8o c.x^i-*-^i) ydx - +- [kdyx — {д^ н- S^) % — с д:^і"*"^г~*"Ч і^У /о 



und hieraus findet sich das Integral 



yS,^y_j.^S^ J \y—x) \y j \y—x) ' 



WO das zweite Glied augenscheinlich ein vollständiges Differential ist. 



Hierher gehört eine der merkwürdigsten Gleichungen Euler's (cap. 2, exempl. 4, 

 art. 490); sie ist folgende: 



ydx — œdy -f- ax^ Vx^ -н b . ydy ~ 0. 



