Beiträge zur bTEGKATioN der Differentialgleichungen erster Ordnung, 



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§ 10. Der vorstehende Satz weist auf eine reichhaltige Classe von Differential- 

 gleichungen hin, welche sich mit Hülfe vorläufiger Lösungen integriren lassen. Den früher 

 entwickelten Fällen schliesst sich jetzt als zunächst liegend und besondere Beachtung ver- 

 dienend derjenige an, welcher aus der Annahme entspringt, dass fFnur aus einem ganzen 

 Polj^ome V und einem logarithmischen Theile besteht , während der algebraisch ge- 

 brochene Theil ganz verschwindet. Es seien also alle D gleich Null und 



^= F -H log (2/ — г/,,) H- log (2/ — i/^) -ь s, log (г/ — у^) ; 



so finden, wenn e^'^'iMdœ ч- Ndy) = dü, ist, nach dem vorigen Lehrsatze folgende Glei- 

 chungen statt: 



M^dx~i~ N^dy^ = 0, M^dx N^dy^ = 0. 



Setzt man ferner ф = (y — y^f^ (y — y.,f'^ (y — y^f\ mithin 



Mdx Ч- Ndy 



so muss sem; 



= da, 



e . Ф 



dm dN J|A!^ jV*^^-!-- — - — 



dy dx dy dx <\i dy ф da; ' 



und weil 



1 гіф £, 1 гіф ^ dx ^ dx 



Ф dy У—Уі У — Уг ф dx у — Уі У~У2 



so wird : 



dM dN ,r dV dr dx dx 



-^ = 1/--1 — iV-l-b e, ^-i-e„ 



dy dx dy dx ' 2/ — 2/i ^ У — Уг 



Nun sei ^~ '^^ ----- G,, — я also G, und Я, die in und — — enthaltenen 



У — Уі У — Уі 1' ' ' У — Уі У — Уі 



ganzen Polynome, so wird wegen M^dx -t- N^dy^ = 



dx _^ jj dy. 



У — Уі 1 ! da; ' 



also erhält man, wenn G.,, //^ auf dieselbe Weise zu «/^ gehören, wie G^, //, zu </,, u. s. f. 



dy dx dy dx ' \ ' l dx / 2 \ 2 2 dx / ч\ ^ v rfa- , 



Diese Gleichung, welche schon in der allgemeinen Gleichung des vorigen § enthalten 

 war, hier jedoch der leichteren Uebersicht wegen unabhängig von jener entwickelt worden 

 ist, giebt die Bedingungen, welche noch erfüllt лverden müssen, wenn «/,, y^,....y^ Lö- 

 sungen von Mdx -f^ Ndy = 0 sind , damit letztere Gleichung durch den Divisor /. ф inte- 

 grabel werde. 



Mémoires de ГАсаіІ. Inip. des SciencPS, Vllme Série. 5 



