32 Dr. Ferd. Minding, 



uur noch solche auftreten, in deren Nenner y — і/, höchstens auf der [i"'" Potenz erscheint. 

 Seien i/,, die Zähler dieser letzteren, welche bloss von x abhängen, so hat man: 



dy dx 1 2/ — 2/1 ІУ- Уі)- (У — Уі)^ 1 



Diese Entwickelung gilt für alle T. Bezeichnet man also mit P d\e Summe aller hierher 



dV j^dV 



dy dx* 



gehörigen ganzen Polynome, mit Einschluss des von Г herrührenden Theiles — Л^^^ 



so hat man : 



/ dy^ 



dy dx У—Уі ІУ—УіГ (у_у^)М,-ы 



У-У2 (2/- 2/2)'^^ (2/-2/#^-^i 



und dieser Ausdruck soll für jeden "Werth von x und у dem ganzen Polj^om ^ — ^ 

 gleich sein. Diese Gleichheit kann nicht anders bestehen als wenn 



p dM dN 



dy dx 



und alle Zähler der vorstehenden Brüche, jeder für sich allein, Null sind, da ein gegen- 

 seitiges Aufheben der hier unterschiedenen Brüche unmöglich ist. Demnach sind nicht 

 allein die obigen U, jedes einzeln, gleich Null, sondern es verschwinden auch die Zähler, 

 welche oben durch die (jt, 1)"' Potenz von у — , die ([x^ -+- If von у — г/,,, u. s. f. divi- 

 dirt wurden, jeder für sich. In Betreff dieser Zähler ist noch zu bemerken, dass sie eine 

 andere Gestalt annehmen, wenn alle D'= 0 sind, also z. B. bloss das Glied z^\og{y—y^) 

 enthält ; wo aber e, nun nicht mehr — 0 gedacht werden darf, da diese Annahme über- 

 haupt das Glied in TV gmz vernichten würde. In diesem Falle sind die obigen Aus- 

 drücke f//, U^, U'^^ sämmtlich gleich Null, oder es ist ='0 zu setzen ; der zuletzt 



stehende Theilbruch erhält aber die Form : 



2/ — 2/1 



und muss für sich allein verschwinden. 



Da also unter allen Umständen -+- iV, als Faktor eines Produkts auftritt, welches 

 gleich Null sein muss, dessen zweiter Faktor aber nicht = 0 ist, so folgt: M,-t- N,^= 0 

 oder M^dx -t- N^dy^ = 0 , d. h. y^ muss eine Lösung der Gleichung Mdx~h Ndy= 0 sein; 

 und dasselbe gilt von den anderen Funktionen y^, у.^-, - • • - У^) w. z. b. w. 



