Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 



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Um die Formen auf der rechten Seite genauer zu entwickeln, genügt es ein T allein, 

 es sei Г^, näher in Betracht zu ziehen, da für die übrigen dasselbe Gesetz gilt; ich setze 

 daher, zur Erleichterung des Druckes alle für jetzt entbehrlichen Zeiger weglassend : 



Г, = --H — H- . . . . -f-r-^u H- e log (2/ — 2/,). 



Hieraus erhält man 



M~— = R(M-i-Nf')-^ SN, 



(ty (tCß \ O'X j 



ЛѴО 



_£ Щ M- Ppi 



2/ — 2/1 ІУ — УіУ- {У — Уі)'' ■■■■ (У — 2/l)l^■^^ 



^ 1 f/_/)i 1 dD^ l dP^x 



" У — Уі' Лх (У — Уі)^' dx ■■■■ [У — Уі)'^ Лх 



zur Abkürzung gesetzt ist. 



Man denke sich nun die Polynome M und N nach Potenzen von y — entwickelt, also 

 in folgende Formen gebracht: 



M = Ж, -t- с; {у — у) -ь 6; _ ,/,)^ . . . . (г/ — //,)"^ 



іѵ = іѴ, H- (1/ - 2/,) -H і^; — -H . . . . -ь- /і; {у - 



und führe mit diesen Ausdrücken die Multiplicationen aus, überall die ganzen Polynome 

 von den algebraischen Brüchen trennend, so ergiebt sich Folgendes: 



Es ist 



M^ — N -^/ = R ( M, H- л; Щ SN, -i- R(M—M,) 4-iR'^^4-S]{N— iV, ) . 



dy dx \ ' 1 dx / ■ i ^ I ' \ dx ! I 



Der erste Theil й(Ж, ist in Bezug auf у ein ächter algebraischer Bruch, in dessen 



Nenner у — у^ auf die ([t-*- 1)"= Potenz steigt. Der zweite Theil Л'Л", ist ebenfalls ein ächter 

 Bruch, in dessen Nenner у — у^ nur auf die Potenz steigt. Der dritte Theil R{M-—M^) 

 zerfällt in ein ganzes Polynom und in einen ächten Bruch, dessen Nenner nur die [i'" Po- 

 tenz von у — г/| ist, da 31 — den Faktor y- — ry, wenigstens einmal enthält. Der vierte 



Theil (J4^ -»- S) {N- N.) zerfällt ebenfalls in ein ganzes Polynom und einen ächten Bruch, 



dx / ^ г 



in dessen Nenner y — y^ nur auf die jx*" Potenz steigt, da N—N\^ durch y — y^ theilbar ist. 



Folglich enthält — A'^ einen ungebrochenen Theil und eine Summe von 

 ächten Brüchen, in welcher neben dem Gliede 



(y-y,)^-^' 



