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Es sei Mdx--i-Ndy = 0 die vorgelegte Differentialgleichung, ihr integrirender 

 Faktfir ; also 



e~^{Mdx -+- Ndy) = dil. 



Die Funktion PF bestehe aus mehreren Theilen; der erste V sei ein ganzes Polynom in 

 Bezug auf г/, beliebig nach x. Der zweite Theil sei mittels der gegebenen Funktionen 

 , D,'. i>2' . . . . D'^ von X und der Constante e, folgendermassen gebildet : 



Solcher Theile wie Г, enthalte TV eine bestimmte Anzahl, etwa v, aus den Funktionen 

 2/p У2----У^ nebst den zugehörigen Faktoren D nach demselben Gesetze gebildet wie 1\ 

 aus seinen Elementen; es ist also 



und 



ï^'^' -H . . . . log (г/ — î/^j ; 



12 3 V 



Es wird angeuDmmen, dass jede der Funktionen у^, y,, von jeder andern ver- 

 schieden ist. 



Die Polynome Mund iV können mit gemeinschaftlichen Faktoren behaftet sein; sollte 

 jedoch eine der Differenzen y — г/,, ?/ — «/^, у — у^ in beiden aufgehen, oder ein ge- 

 meinsamer Faktor von der Form {y—y^^ vorhanden sein, so wäre ein solcher in е'^^''^''У~У\' 

 zu verwandeln und der Exponent dem logarithmischen Theile von beizufügen, so dass 

 schliesslich keine jener Differenzen als gemeinsamer Theiler von M und IS sich vorfinde. 



Unter diesen Voraussetzungen gilt nun folgender 

 Lehrsatz. Wenn e~'^'{Mdx -t- Ndy) ein vollständiges Differential ist, so sind die Funk- 

 tionen y^, y.^ y^ eben so viele Lösungen der Gleichung Mdx-i-Ndy = 0, 



oder es ist 



M^dx 4^N^dy^ = 0, M^dx -f- N,dy^ = M^dx -+- NJy^ = 0. 



Beweis. Da 



e~'^{Mdx^Ndy) = dQ, 



so ist 



d {e ~^^M} d ie~^N) 



dy dx 



oder 



dM dN .fdW dTF 



dy don dy dx 



d. 1. 



dy dx dy dx \ dy dx j 



г = \ 



