Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 29 

 für n=3 wird G= P(?/-i- 2?/,), П = уч-2у^-^0, 



(y — .r.f- 2 \ y — x I ^ y—x 



und 



für n = 4 wird 



3 " \ 2/ — ж / ■ ^ y — x 



und 



3 ^ ■ • 2.2-2/ 3 y 2xj о 3 



Für n = 1 wird G = 0 , Я — 0 und 7=1; dalier 



Pydx (y -t- Q) dy ^j^/x-i-Q\ _ d (t/ — л) 



и. s. w. 



(y — xf \у — х/ у - X 



und 



Wird ferner rechterhand differentiirt und mit der linken Seite verglichen, so ergiebt sich 

 für Q die Bedingung : 



Qdx — X [dx dQ) = 0 ; 

 daher mit der Constante к: Q — kx — x log x , und P — log x- — к — 1 . Also schliesslich: 



dil 



(log X — к — 1) ydx -л- (y -\- kx — X log x) dy 

 (y — xf 



л; Іоц ;r — (k~i-\)x -, , , > 



= -^i^x ~ 



§ 9. Wenn der integrirende Divisor die bisher allein betrachtete Form hat, nämlich 



ф = (г/ — 2/^)^1 [у — in лѵеІсЬег alle Exponenten positive ganze Zahlen sind, so 



kann mit Hülfe vorstehender Entwickelungen das Integral sofort dargestellt werden ; dies 

 wird aber im Allgemeinen nicht mehr zu erreichen sein, wenn jene Exponenten beliebige 

 Zahlenwerthe erhalten. Die Eigenschaft aber, worauf es hier hauptsächlich ankommt, dass 

 die in <]j vorkommenden Funktionen von x, nämlich î/^, У^ - • • • ■ - У^^ sämmtlich Lösungen 

 der vorgelegten Differentialgleichung sein müssen, bleibt auch für beliebige Werthe jener 

 Exponenten gültig. Mit dieser Erweiterung ist jedoch noch nicht die allgemeinste Form 

 des integrirenden Faktors gegeben, welche sich aus vorläufigen Lösungen bilden lässt; es 

 sind vielmehr dazu noch Glieder von anderer Form erforderhch. 



Die Voraussetzung, dass M und JS in Bezug auf y ganze Polynome sind, auch für die 

 Folge festhaltend, gehe ich jetzt zur Untersuchung der allgemeinsten Form des integri- 

 renden Faktors über, welche ich aus vorläufigen Lösungen habe bilden können. 



