I 



Beiträge zur Integration der Differentialgleicblngen erster Ordnung. 27 

 ferner durch Zerlegung : 



'Ч У — Уі ' У — Уг ' Уі — Уо "^і' Уг — Уі 



G==0, 11=0, dil=.a'^^^q/-^-^', '^-^ = q,, = : 



' ' ' I » — ЯІ. ^2 II — ij. II. — w„ II ' II 12 



daher 



</,-ь7.2 = 1; = 0, Py.,doc-i-q^_{y^ — y^)dy,, = 0, 



folglich 



- -H ^ = 0 ; Pdx = — q^dy^ — q.^dy^^ , y^'i . y^'z ^ с ^ const. 



und 



Man erhält daher für n = l: 



[y — Ч1У2 — l'zVi) dy — y {(hdyi-H q^dyo) _ 



(y — У\)(У — y->) ' 



wobei die Bedingungen : q^-^q^ = \ und г/,^'! . y.^^i = с bestehen müssen. Alsdann ist 



dÇl:=.q^'^l^^q/Jy-IlM, 

 У~Уі У — Уо 



Wünscht man der Vollständigkeit wegen dieselbe Aufgabe auch unter der Annahme der 

 Gleichheit von «/, mit y.^ zu lösen, so ist zu setzen: 



(У — УіГ- ~ 



da. 



Hier kann jedoch г/, ohne Weiteres als unabhängig veränderliche Grösse angesehen und 

 durch X ersetzt w^erden ; also sei : 



Py^dx^{y4-Q) y'^-^dy ^^^^ 

 ' [y — xf 



Wenn diese Voraussetzung bestehen soll, so muss der Zähler links für y = x verschwin- 

 den; dies giebt : 



Px-t-x-i-Q = 0. 



Ferner muss ±ifL-*:<^'!__^ _ ny'"^ -+- (n — !)(>(/""- für y = x constant sein; also: 



nx 



n — 1 



bind noch G und // die in , — und ^-7—^^^- enthaltenen ganzen Polynome, nämlich: 



{y — Xf (y — .rf ^ J J 



n 



/ ' n y^ ~ ^*^^ ^у -i-{n , — 1) X 



Ь ~ r -, 



(y — ocY- 



in welchen Ausdrücken der Nenner in den Zählern aufgeht, — jedoch muss n wenigstens 

 = 2 sein — so erhält man : 



