Beiträge zur Iintegration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 23 



aus der letzten P, womit die Aufgabe gelöst ist. Euler giebt der gefundenen Gleichung 

 die Form : 



— '^xydx -t- {a. — X <^x^ -i~ y) dy 



У [У^ (^ot — x) у -i- a."^ — аж Ч- aßx-J 



Um ZU dieser zu gelangen, muss man zuerst bemerken, dass der eingeklammerte Faktor 

 des Nenners in zwei lineare Faktoren zerlegbar ist; es ist nämlich für b= V\ — 4 aß: 



У H- (2a — œ)y~t-OL — ах -h- apœ — [y —x-{~aUy —.хч-а\. 



Diese Thatsache, welche in Euler's Darstellung gar nicht zu Tage kommt, enthält 

 dennoch das, was aus dieser Untersuchung eigentlich zu lernen war, nämlich dass die vor- 

 liegende Aufgabe nur dann, dann aber immer lösbar ist, wenn von y^ linear abhängt, 

 also y^^my^ -+- n ist. Dabei bleibt zwar noch eine willkürliche Funktion von ж, allein 

 dies ist ganz unwesentlich, da in der Differentialgleichung die ursprüngliche Veränderliche x 



nur in dem Produkte '^•dx^ also in der That gar nicht vorkommt, vielmehr y^ als solche 

 angesehen und sofort durch x ersetzt werden kann. 



Um jedoch sogleich auf die Euler'sche Form zu kommen, setze man in den oben ge- 

 fundenen Gleichungen 



У, = Т,л^ — a, ,= у^я; — а , у^^^^Ці^, =^ LzL^ ; ^ ^^^^ aß ; 



SO folgt : А / Ч л л f 



'/Л, -^- Чг(% = ' (9і -^q,)(^-^f=0 oder q^a = f- 



olQ = y^y^ = aßx^ — ax -+- a^, also Q = <x — x ^х^ ; 



/■^ = 9,ïi (Та^ — a) -i- ry^Y^(Y^^ — a) = {7, -н q.^ aß^ =—ßx; 



daher P — — ^x; wodurch die gewünschte Uebereinstimmung mit der Euler'schen Form 

 hergestellt ist. 



Will man noch die bisher ausgeschlossene Annahme «/, =y^ in Betracht ziehen, so 

 ist zu bemerken, dass dadurch nur die Form des Integrals geändert wird, während der 

 gefundene Werth von dil auch für y^ — ein vollständiges Differential bleibt. Aus 



Pydx-+-[Q-^ y) dy 



y{y — Vif 



erhält man nach § 6 sofort : 



dil = — d( -^-^A - q "-^-^^ Ц ^ 



V2/1 [y — Уі)І ' У~Уі , 'y 



q — = const. 



Dies giebt Q — qy^ und P = — {l-^- qy^); also 



dil 



— (1 ЯУі ) уіуі -I- (дуі'^ y) < 

 2/(2/ — 2/1 F 



