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Dr. Ferd. Minding, 



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(y — УіІЧу — Уі)"^ \ ^[У—Уі? 



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-^Л _^ 1 д (у — У\) 



У — Уі/ 2 '/і у _ 



\ У — У2 / ^2 у — Уі' 



woraus sich dann Ж = ^ • ф ergiebt. 



Man kann auf diese Weise mit einem innerhalb gewisser Schranken willkürlich gege- 

 benen N beliebig Differentialgleichungen bilden, deren integrirender Faktor die obige Form 

 hat, und zugleich ihr Integral augenblicklich hinschreibefl. 



§ 7. Im dritten Capitel des zweiten Abschnittes der Instüutiones calcuH integralis be- 

 schäftigt sich Euler damit, Differentialgleichungen aufzusuchen, welche durch Multipli- 

 catoren von gegebener Form integrabel werden. Dass die Lösung solcher Aufgaben durch 

 die hier entwickelten Hülfsmittel nicht unerheblich vereinfacht und erleichtert wird, will 

 ich jetzt an einigen Beispielen zeigen. 



Die erste Aufgabe lautet: die Funktionen P und Q von x so zu bestimmen, dass die 

 Gleichung Pydx -+- {y -\- Q) dy = 0 durch den Multiplicator _^ щ2 _^ jyy ; worin M und N 

 Funktionen von x sind, integrabel werde. 



Auflösung. Zufolge der Aufgabe soll sein : 



Pydx -^{Q-i-y) dy 



y(y — Уѵ) ІУ — Уі) 



dil. 



Wenn nun </, von y.^ und beide von Null verschieden sind, so muss sich dil auf folgende 

 Gestalt bringen lassen, wie in § 5 gezeigt worden ist, nämlich: 



^ У — Уі У — Уо y 



Die Faktoren 7,, q^^ q^ bedeuten Constanten. Diese Form mit der gegebenen verglichen 

 giebt sofort, wenn man einen constanten Faktor f zu Hülfe nimmt: 



f{Q-*-y) = (j,y{y— y,) 9,2/ {y — «/, ) -^%iy — y,) iy — y 2) 



f Py^^ = — 4, y ІУ ~ y 2) ^2/1 — Я2У ІУ — У^) dy-2 ' 

 woraus folgende Bedingungen fliessen : 



deren vierte eine Folge der zweiten ist. Werden nun y^ und die Constanten </,, /"beliebig 

 angenommen, so folgt aus der ersten Gleichung 93, aus der zweiten y^, aus der dritten Q, 



