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Da nun auch vermöge der ersten Bedingung Gdx и- Hdy ein vollständiges Differential 

 ist, so ist hiermit die Integration erledigt. Der Deutlichkeit wegen mag noch bemerkt 

 werden , dass Ф"^' folgenden Werth hat : 



Ferner ist Ф^^~ = 9, = constans, eine Bedingung, welche die Funktion iV, erfüllen 

 muss, und ähnliche Bedingungen gelten für ІѴ^? Es darf daher auch das Po- 



lynom N nicht gänzlich willkürlich gewählt werden; seine nothwendige Form ergiebt sich 



aber sogleich, wenn man die ohige Zerlegung von ^ in Betracht zieht, wonach war: 



iV ^ //ф -t- (Ф(2/,) H- Ф'(у^) _ у,) -H .... H- Ф^^-'^ (2/,) ^4^Г) , 



Ф 



(Х-1)! I(y-yyt 



d. h. da Ф'^~'>(г/^) = (/^ ist, also constant: 



ІѴ=//фн-Ф(2/,н-2/— 2/,).--^^н- = н^Чг-Фу-^^,^ 



ІУ — УіГ ІУ—УіГ 



фу kann jedes ganze Polynom nach у vom (X — l)'"" Grade sein, wofern nur die höchste 

 Potenz von у einen constanten F'aktor hat ; es ist also allgemein zu setzen : 



Фу = А^-^А^у-^Ау-^....-^А,_^/-'-^^-^^ 



wobei die А beliebige Funktionen von x sind. 



Es sei z. B. Ф — — y^f^iy — Уо^^ІУ — Уо)^^ und man bezeichne mit A^, A^ , В^, 



, С^, beliebige Funktionen von ж, so ist die hierhergehörige allgemeine Form 



von N folgende : 



-^{в^^В^у-^ -^- у'-'' ІУ - У^'' - Уг)'' 



-^{Co^f^.y-^ у''"' TÏ^) -^і)'^ (2/ -^.^ H- л . ф; 



H ist ein ganzes Polynom in y, beliebig nach œ. 



Sind nun Ф und N gegeben und soll ^'^'^ ~^ ^*^^ = dü sein, so findet sich ö sofort aus 

 der vorstehenden Entwickelung, wobei nur noch zu bemerken ist, dass dann für G der 

 Werth 



^ = fi^'^y-*-^ 



genommen werden muss; das beigefügte | ist eine beliebige Funktion von dadurch wird 

 Gdx Hdy — B,dx -b- d {/Hdy) = dU, also U— / Hdy f%dx ; 



