Beiträge zur I]\tegration der Differemialgleichukgen erster Ordnung. 



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Diese Bedingung kann nicht anders erfüllt werden, als durch das Verschwinden der 

 einzelnen Summanden ; es müssen also folgende Gleichungen bestehen : 



dH dG 



dx dy ' 



(X _ ( H- Ф'^^' IX =^ 0, für II. 0, 1 , 2 . . . . bis X - 1 , 



endlich _ 



weil dieses Glied das einzige ist, das die erste Potenz von у — im Nenner hat. Dass 



zu den vorstehenden Gleichungen noch die entsprechenden für i/^, hinzutreten, 



versteht sich von selbst. Für ^ = 0 giebt die mittlere unter den vorstehenden Gleichungen 



Р-^Ф^ = 0, d. h. M^dx-\-N^dy^ — 0; folglich ist y^ eine Lösung der Differentialgleichung 



Mdœ -H Ndy — 0, was zu beweisen war. Dasselbe gilt von î/^, у^ у^. 



Unter der Voraussetzung, dass die soeben aufgestellten Bedingungen sämmtlich er- 

 füllt sind, ist nun noch die Form des Integrals Q zu finden. Es war 



dü = Gdx -H Hdy -+- ^ ^'>^'сгдч-Ф Ф->гі^ _^ zu y ,y gehörenden Glieder. 



Setzt man hier für F"^' den aus der obigen Gleichung folgenden Werth : 



dx X — jx dx 



so folgt: 



dü, — Gdx -H Ildu -+- > ^-^^ 1 ^ — 



oder : 



dil = Gdx ^ Hdy rS '^!^y^ ly" ^Ф'^-'^ ^ -H . '-^-^ . . . . 



WO Ф^^ gesetzt ist, da dieser Werth zufolge der letzten Bedingungsgleichung con- 

 stant sein muss. In der zweiten der vorstehenden Summen schreibe man nun [л 1 für [л, 

 um die Grenzwerthe von auf 0 und X — 2 zu bringen , so kommt : 



dil = Gdx -H Hdy i ii^li^-^ '-^-^ ] H- ^A±iyjz^ ^ 



р. = о 



wo sich der Ausdruck umer dem 2 sogleich als vollständiges Differential zu erkennen 

 giebt und mithin erhalten wird : 



^ \ u. I a — 11 _ 



!J. = 0 



dil = Gdx Hdy -У d ( , ) _Mi^iL . 



