Beiträge zur Integration der Differentialgleicbungen erster Ordnung. 



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§ 6. Es ist vorauszusehen, dass der vorige Satz auch gültig bleiben wird, wenn 

 mehrere Faktoren von 4^ einander gleich sind; aber es ist auch wichtig, diesen Fall näher 

 zu betrachten, um die dabei bestehende Form des Integrals kennen zu lernen. 



Sei demnach ф — (»/^ — У^Т^ІУ — yj'^ ІУ — 2/v)^^5 von œ allein abhängigen 



Уѵ У-2----У^ ^^^^ einander verschieden, die Exponenten X sämmtlich positive ganze 

 Zahlen, keiner = 0 und wenigstens nicht alle = 1. Auch dürfen, wie früher, die M und IS 

 nicht beide zugleich durch y — oder y — y,^ u. s. w. theilbar sein. Mit diesem ф sei nun 



^^х'^Ф^'^ ' vollständiges Differential gegeben, oder wenn wieder der bloss von cc ab- 

 hängige Divisor X den M und IS einverleibt gedacht wird, so sei gegeben : 



Ф 



Für die Zerlegung in einfache Brüche genügt es, nur die y — у^ im Nenner enthaltenden 

 Brüche zu entwickeln, da die übrigen Glieder denselben Gesetzen folgen; daher wird für 

 jetzt auch bloss X statt X, geschrieben werden dürfen. Setzt man zur Abkürzung: 



ІУѵ — y-i?"-^ ІУі — y-i)^^ ІУі — ^^'^ ' (^1 — 2/2)^-^ (2/1 — ?/v)^'' ^ 



oder was dasselbe ist, setzt man : 



so wird erhalten: 



Ѵуі ѴУі 



^ = G-+- — H- — ^іі- H ^^^-à H -+- — Zim^jJ H 



Ф ІУ-Уі)^ ІУ-Уі)^-' 2 ! (2/ - (X-l)!(2/-2/J 



^^ff_^_ Ф(Уі) Ф' (y.) _^ Ф"(У і) ^ Ф^^Ы ^_ 



Ф (y-г/l)^-^ 2!(2/-3/i)^-2 (X - 1) ! (y - yj) 



G und H sind die in den Quotienten enthaltenen ganzen Polynome ; die den übrigen Fak- 

 toren von nämlich y — i/.,, y — u. s. f. zugehörigen Theilbrüche sind nach Anleitung 

 der zu y — у^ gehörigen ergänzend beizufügen. 



Es wird keine Dunkelheit verursachen, wenn hier noch kürzer für F{y^) und Ф(y^) 

 nur F und Ф gesetzt werden ; ferner ist ^ = , = ^ ; daher erhält man, die zu «/.^ , 2/3 • • • 

 gehörigen Glieder von nun an weglassend : 



dx J (J. ! (2/ — Уі?'~^ 



dy ^(jl!(2/ — 2/^)>^-t^ 



Die Summation erstreckt sich von iil= 0 bis [jl 



Mémoires de l'Acad. Imp. des Sciences, Vllme Série. 



