16 Dr. Ferd. Minding, 



also muss identisch folgende Gleichung bestehn : 



dx dy (y — • • ■ (y — y^f [y — yy)dx ' " ' (y— y^) dx 



Diese Gleichung kann nicht anders für jeden Werth sowohl von x als von ij richtig bleiben, 

 als лѵепп die rechter Hand vorkommenden positiven Potenzen von y (einschliesslich der 0'*°) 

 durch das Verschwinden ihrer Faktoren alle wegfallen, was darauf hinauskommt, dass 



identisch ^ — ^ = 0 sein muss und wenn ferner die Zähler der auf jene Gheder fol- 



dx dy 



genden Brüche, jeder einzeln, gleich Null sind. Denn es können weder die Brüche, welche 

 eine Potenz von y — zum Nenner haben, andere aufheben, deren Nenner Potenzen von 



У — y^t У — Узі - • • • sind, da nach der A^'oraussetzung unter den Grössen г/,, «/^, у^, 



gleiche nicht vorkommen; noch können solche Glieder, welche verschiedene Potenzen von 

 у — zum Nenner haben, einander tilgen, wie leicht zu sehen oder auf nahe liegende 

 Weise darzuthun ist, wenn man nur festhält, dass alle Zähler von у unabhängig sind. 



Demnach hat man P ^-л- Q^-~^ — Q ^ d. h. Л/, ^ = 0; also ist y^ eine Lösung der 



Gleichung Mdœ-t-Ndy=0^ und ebenso sind es y^, y^, y^, wie im Lehrsatze be- 

 hauptet wurde. 



Ueberdem folgt aber noch aus dem Gange der obigen Rechnung, dass auch ^ = 0, 

 also constant sein muss; ebenso die übrigen Q; diese Constanten mögen wie bisher 

 durch g,, ?2 • • • - îv bezeichnet werden, so dass z. B. ist: 



L— о U. S, I. 



Es war aber oben M für у > -/Vfür gesetzt worden; stellt man also jetzt die Л/und N 

 in ihrer ursprünglichen Bedeutung wieder her, so wird = q^, u. s. f. und 



Mdx-t-Ndy Gdx -t- Hdy djy — y^) d (y — y^) 



Х.Ф — X Ч\ y-y^ % y_y^ • 



G H 



Hier ist für die obigen G und Я, - und - geschrieben , damit G und H die in den Brüchen 



'ф-, ^ enthaltenen ganzen Polynome bleiben, auch wenn M und jetzt wieder in ihrer 



ursprünglichen Geltung genommen werden. Die obige Gleichung ^ — '^ muss daher jetzt 

 geschrieben werden : 



dy dx ' 



also ist ^ "'^^ ein vollständiges Differential = dU, und man erhält für die Form des 

 Integrals der gegebenen Differentialgleichung, deren integrirender Faktor -^-^ war, 



Mdx-^-my djy-y,) _^ _^ djy-y^^ 



і.ф У — Уу 2/ — 2/v 



