Beiträge zur Integration der Differentialgleicbungen erster Ordnung. 



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sungen bestehen, vollständiger zu ergründen, wird es nützlich sein die vorige Untersuchung 

 in umgekehrter Richtung aufzunehmen, wodurch folgender Lehrsatz gewonnen wird: 



Wenn der integrirende Divisor die Form ЛГ.ф — wie oben — hat, so sind die 

 î/i, sämmtlich Lösungen der Gleichung Mdx -+- Ndy = 0, 



Hierbei wird wie überall angenommen, dass M und iV ganze Polynome in so wie die 

 von X abhängigen Grössen , г/.^ • • • alle von einander verschieden sind. Auch dürfen 

 nicht iüf und iV beide durch einen der Faktoren von <|j, z. B. durch y — «/,, theilbar sein. 



Da derselbe Satz später für eine viel allgemeinere Form des integrirenden Faktors 

 bewiesen werden wird, so hätte der gegenwärtige, als ein besonders einfacher Fall, jenem 

 umfassenderen untergeordnet und dadurch einige Wiederholung vermieden werden können. 

 Es gestatten jedoch die einfachen Fälle, welche hier zunächst hervorgehoben werden, eine 

 Darstellung, wodurch nicht allein der obige Satz leicht bewiesen, sondern auch das Inte- 

 gral in vollständig entwickelter Gestalt sofort gefunden wird, wie es bei der späteren all- 

 gemeineren Form des integrirenden Faktors nicht mehr angeht. Unter diesen Umständen 

 wird die Wiederholung, wie ich hoffe, kaum fühlbar und gewiss nicht störend sein. 



Es seien demnach ф — («/ — y^){y — y. {y — y^ und ein vollständiges 



DifiFerential. Der von y unabhängige Faktor ^ kann dem M und iV einverleibt gedacht, also 



Ш N 



für Y und Y bloss M und iV geschrieben werden, wonach man hat: 



Mdx -+- Ndy 



Ф 



Durch Zerlegung in einfache Brüche wird erhalten : 



M ^ Pl ^ TT Ql <?v 



-7- = G-i — I- H — , - — Ян — ^ — I- H 



Ф У — Уі У — Уч 'і> У — Уі У—Уч 



WO zur Abkürzung gesetzt ist : 



Demnach ist gegeben : 



P=^, Q=^,u. s. f. 



da = Gdx H- Hdy H- "^»'^ ^^^y H- . . . . H- ''■-^^ ^^'^^ 



^ У — Уі У—Уч 



daher : 



dQ ^ P, dSl ГТ Q, 



-7- = G H — I- , — = Я H — ^ — I- 



У — Уі ^ dy У — Уі 



Hieraus folgt : 



d^Q, dG p, P„ 



dxdy dy [y—y^f (y — y^f 



