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Dr, FeRD. m in DIN g, 



und Ф in Bezug auf y von gleichen Graden oder wenigstens M nicht von höherem Grade 

 als 4»; zerlegt man also in einfache Brüche, so kommt 



— = G-+- -p ~- : -t- , 



Ф Ф 2/1 (2/ — 2/1) 



wo der ungebrochene Theil G von x allein abhängt. Weil M vom n*'" Grade ist, so kann 

 die höchste darin vorkommende Potenz von г/^, nämlich die (пн-1 — jx)'^ nur mit einem 

 Polynom vom — 1)"" Grade in x multiplicirt sein ; also ist G im Allgemeinen und höch- 

 stens vom (|JL — 1)'^" Grade in x. Ferner ist ^ oder ^ in Betreff des y ein ächter Bruch, 

 da Ф nach y den (n — ii.)"" Grad nicht überschreitet, während ^ den (пн- 1 — erreicht; 

 daher giebt die Zerlegung : 



^ x( фі _, Фп- n-fx Y 



Ф \Ф'2/і (2/ — 2/1) Ф'2/п-і-і-|л(2/ — 2/n-i-i-fJ/* 



Mit Hülfe der Gleichungen M^dx н- iV^(/(/ = 0, folgt hieraus: 



Mdx -+- Ndy Gdx Ф\гЦу — 2/i) 



^^-Ф -Ï Ф'2/і(У — 2/i) 



Nun ist % ein ächter Bruch , zerlegbar in die Summe - -1- н- Betreff 



der ^ = Q^Vi. s. w. gelten die obigen Schlüsse, wonach Q^ = q^^ Q^=q^^.... alle constant 



sind. Da nämlich jedes a von jedem andern a verschieden ist, so ist vom (n — jx)*^" 

 Grade, wie Ф, auch. Ferner wird für den Werth x von x^ welcher — y^ macht, = 

 und = Л'з, also Ж, -к Л', а, = О und и-- A'jtt^ — 0; also iV, = 0, M , = 0 für x — x . 

 Da nun iV, = X. Ф| — 0 für я; = a;', so folgt = 0 für ж = x. Es könnte freilich auch 

 für x = x, X=Q werden, wenn zufällig eines der у dem x gleich käme; allein da die 

 Grössen Y ganz beliebig gegeben sind, so würde ein solches Zusammentreffen hier ohne 

 Bedeutung sein und könnte durch eine unendlich kleine Aenderung der у sofort getilgt 

 werden. Es ist also Ф, durch x — x theilbar und ebenso durch die übrigen Faktoren von 

 4i'(/,' nämlich X — x'\ x — x"\....x — x'^~^, welche nach der Voraussetzung sämmtlich 

 von einander verschieden sind. Demnach wird Q^ = q^^ u. s. f.; mithin schliesslich: 



Mdx -+- Ndy k^dx ^ ^ JhL'^ _|_ ^і^ (2/ — У\) ^ ^ qn-t-i — u-d (y — Уп-t-i — u-) 



X-<i> Ж — Yi a;— Y^ 2/ — J/i y — 2/n-t-i-(i 



§ 5. Die bisherige Untersuchung ging davon aus, dass zuerst gewisse vorläufige Lö- 

 sungen der Differentialgleichungen als gegeben gedacht wurden, nämlich «/2 u. s. f., und 

 beantwortete dann die Frage, unter welchen Umständen sich der integrirende Divisor in 



der Form X{y — y^){y — y_^ — X.^ aus jenen Lösungen bilden liess. Es zeigte sich, 



dass dies zuweilen mit aller Sicherheit geschehen konnte. Um aber die Beziehungen, 

 welche zwischen gewissen Formen des integrirenden Divisors und einigen vorläufigen Lö- 



