Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 



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• •••(2/— Упч-і) keines der daraus abgeleiteten ganzen Polynome '\>'у^[={у—У2)ІУ—Уз) 



(y, — Уn-^-^)]^> 4*^2 ФѴп-ы durch ein Quadrat [d. h. einen Ausdruck von 



der Form (œ-i-bf] theilbar ist — so ist jenes Produkt ф der integrirende Divisor 

 der Gleichung Mdx -+- Ndy = 0 und zwar hat man : 



Mdx -4- Ndy _ d{y — уі) _^ _^ d{y — Уп- +-і) 



Ф у — Уі ^"-^-1 у — Уп-i-i 



Die Werthe von q^^q^ ergeben sich leicht. Es sei, nach Potenzen von x entwickelt, 



= 6>" H- Cx^^-'-i- CV-^H- . . . . , so folgt : 



Ci 



^1 («1 — a,) (a^ — «з) . . . . — ,) ' 



und ebenso die übrigen q. 



Wenn die zuletzt aufgestellte Bedingung in Betreff der фу, , ^'у^ nicht erfüllt 



wird, so kann die obige Form des Integrals dennoch bestehen, aber es ist auch möglich, 

 dass sie nicht zulässig ist, wie bereits am Schlüsse des vorigen § bemerkt wurde. 



Zusätzlich ist hier noch zu bemerken : 



Die allgemeine Form einer linearen Lösung ist ly == ax -ь ß, wofür «/ = аж -t- ß ge- 

 setzt werden kann, wenn X nicht = 0 ist. Es kann aber der Fall eintreten, dass die obige 

 Gleichung ПН-1 lineare Lösungen hat, darunter aber solche mit X = 0; seien diese 

 я; =z , a; = • • • • ^ = Т[А) die übrigen aber von der früheren Art, nämlich 



wobei angenommen bleibt, dass alle a von einander verschieden sind und ebenso jedes у 

 von jedem andern 7. Auch in diesem Fall gilt der obige Satz ; wird nämlich 



'\> = ІУ — У,){у — У2)-'-Лу — Упч-і-^) 



gesetzt und 



T,)(^— T2)----(^— V: 



so ist ЛГ.ф der integrirende Divisor der Gleichung Mdx-t- Ndy = 0, wie folgendermassen 

 zu beweisen ist. 



Da der Gleichung durch л; = Genüge geschieht, so muss für x==y^, Л'= 0, also 

 N durch X — Y) theilbar sein ; ebenso durch x — ^^u. s.w., also muss N durch X theilbar 

 sein oder 



iV= ЛГ.Ф, 



wo Ф ein ganzes Polynom in x und у ist, welches nach beiden zusammen nur vom (n — 

 Grade sein darf, da J vom [л*"" und N vom n'"" Grade sein soll. Da ferner M-\-Na = 0 wird 

 für у=а.х-+-^, und da die hieraus entspringende Gleichung für а nur vom (n-\- 1 — jx)'*" 

 Grade ist, indem sie nur ebenso viele Werthe von а nach der Voraussetzung darbietet, so 

 darf auch M in Bezug auf y den (n-4-l — Grad nicht überschreiten. Daher sind M 



