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Dr. FeRD. m in DIN g, 



§ 4. Eine Art von Differentialgleichungen, für welche die obigen Voraussetzungen 

 sämmtlich zutreffen und deren Integration sich daher durch sehr einfache Betrachtungen 

 bewirken lässt, ergiebt sich wie folgt. 



Es seien M oder N ganze Polynome sowohl nach x als nach y und zwar vom w*^" 

 Grade in dem Sinne, dass die höchste Summe der in M oder N — im Allgemeinen, aber 

 nicht nothwendig, in beiden — vorkommenden, demselben Gliede zugehörigen Exponenten 

 von X und y gleich n sei, und die Gleichung Mdx Ndy = 0 habe n -+- 1 lineare Lösungen 



y^=a^x -+- ß^, ~ "'w-f-i^ ßw-f-r ^^s^ ^^^^ möglich ist sieht man leicht. Denn 



wird in der Gleichung Mdx Ndy — 0, у = ax -i- gesetzt, so erhält man eine kein у 

 enthaltende Gleichung, — sie werde durch (М)-ь(Л^)а = 0 bezeichnet — worin x auf 

 den n""" Grad steigt. Soll diese für jedes x bestehen, so ergeben sich n-t-l Bedingungen 

 zwischen den Vorzahlen in M und N, da die Faktoren der verschiedenen Potenzen von x 

 verschwinden müssen. Mit Ausnahme besonderer Fälle, welche zu beachten dem augen- 

 blicklichen Zwecke fremd sein würde, enthält die erste dieser Gleichungen, von der höch- 

 sten (n^'"') Potenz von X angefangen, kein ß und ist in Bezug auf a vom (n-t-l)'"" Grade. 

 Die zweite giebt für jedes a den Werth von ß als eine rationale Funktion von a, welche 

 sich auch in die Form einer ganzen Funktion von a bringen lässt, nämlich 



wo die A sämmtlich bekannt, d. h. durch die Vorzahlen der M und gegeben sind. Hier- 

 mit erhält man пч-1 Paare zusammen gehöriger а und ß, deren jedes den noch übrigen 

 n — 1 Bedingungsgleichungen genügen muss. Es bestehen also zwischen den Vorzahlen 

 der Mund N, deren Anzahl (п-н l)(n-i- 2) ist, wenn jene als vollständige Polynome n'"° 

 Grades gedacht werden, (n-i- l){w-i- 2) Bedingungen, so dass noch Зи-4-З Vorzahlen in 

 M und N willkürlich bleiben, oder vielmehr nur Зп-ь 2, da immer eine derselben als Ein- 

 heit angesetzt werden kann. 



Da M und N nach der Voraussetzung in Hinsicht auf y den и*^" Grad nicht überschrei- 

 ten, während ^ = {у—у^){у — У2^- • •(У~Уп-+-\^ (n-+-l)'"° Grade ist, so sind in -ф und 

 ungebrochene Theile nicht enthalten, oder man hat, den früheren Bezeichnungen gemäss, 

 G= 0, H— 0. Ferner ist iV, ein Polynom w'"" Grades und ist es auch unter der Vor- 

 aussetzung, dass alle а von einander verschieden sind. Wenn also noch ^'y^ durch kein 

 Quadrat theilbar ist, so wird die frühere Schlussweise sofort gültig und man hat 0^ = 

 const. — 9, und ebenso, wenn фѴа durch kein Quadrat theilbar ist, hat man = u. s. w. 



Daher folgt der Lehrsatz : 



Wenn M und iV ganze Polynome nach x und y sind, welche den n'"" Grad nicht 

 überschreiten, von der Beschaffenheit, dass die Gleichung Mdx -i- Ndy = 0, пч-1 

 lineare Lösungen hat, wie y^ = a^x-i-§^^ u. s. w. ; wenn in diesen jedes a von jedem 

 andern a verschieden ist; wenn nach Bildung des Produktes ^ = {y — — y^) 



