Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 



11 



Die Bedingungen, unter welchen der angedeutete Gang Erfolg haben kann, betreffen 

 theils die Anzahl und die Grade der hier als ganze Polynome gedachten vorläufigen Lö- 

 sungen, theils die Beschaffenheit der mit Q bezeichneten Quotienten, und ob sie erfüllt 

 werden oder nicht, ist daher in jedem vorgelegten Falle leicht, oft schon durch den 

 blossen Anbhck der Ausdrücke zu entscheiden. Man wird daher diesen Weg nur betreten, 

 wenn ein vorläufiger Ueberblick ihn nicht von vorn herein als ungangbar ausweist, wie es 

 offenbar gewöhnlich geschehen wird. In solchem Falle gelangt man wenigstens zu der Er- 

 kenntniss, dass das gesuchte Integral der vorausgesetzten Form, welche sich zunächst 

 durch das Dasein einiger einfacher Lösungen als möglich dargestellt hatte, in der That 

 nicht fähig ist. 



Wenn übrigens alle diese Betrachtungen sich auf viele Annahmen stützen , die bei 

 einer ganz willkürlich gebildeten Differentialgleichung gewöhnlich nicht zutreffen werden, 

 so ist damit gesagt, dass sie — wie alle bekannten Regeln — nur für eine gewisse Classe 

 von Differentialgleichungen gelten. Es ist auch wirklich ganz unmöglich, allgemeine Regeln 

 für die Integration jeder Differentialgleichung zu geben, wenn nicht von Annäherungen 

 durch Reihen u. dgl. die Rede ist, welche hierher nicht gehören. Der Umfang der hier 

 angezeigten Mittel übertrifft jedoch nicht wenig den der bisher bekannten, da sowohl die 

 Regel der homogenen als auch die der linearen Gleichungen als sehr eingeschränkte Fälle 

 den obigen Betrachtungen untergeordnet werden können, die erstere wenigstens insoweit, 

 als sie sich auf rationale Б'оппеп der M und JS bezieht; wobei noch gelegentlich bemerkt 

 werden mag, dass die Bedingung, wonach M und ganze Polynome in y sein sollten, hier 

 überall nur der Klarheit und Einfachheit wegen gestellt, keineswegs aber durchaus noth- 

 wendig ist. Da jedoch diese Untersuchungen allerdings nur unter vielen Einschränkungen 

 auf anderweitige Formen ausgedehnt werden könnten, so habe ich es vorgezogen, in gegen- 

 wärtiger Schrift bei der Annahme stehen zu bleiben , dass in Bezug auf y, M und Л' ganze 

 Polynome sind. 



Die merkwürdigste unter den vorhin aufgestellten Bedingungen für die vorausgesetzte 

 Form des Integrals ist die, dass von den durch ф'у,, ^'y^,. ...^'у^ bezeichneten Produkten 

 keines durch ein Quadrat theilbar sein darf. Wenn diese Bedingung, welche bloss von der 

 Beschaffenheit der vorläufigen Lösungen abhängt, nicht erfüllt wird, so ist klar, dass damit 

 nicht gesagt ist, es könne das gesuchte Integral nicht dennoch in der angenommenen Form 

 bestehen; vielmehr lassen sich offenbar Gleichungen von dieser Form, in welcher eben 

 u. s. w. durch ein oder auch durch mehrere Quadrate theilbar sind, ganz leicht absichtlich 

 bilden. Aber wenn die obige Bedingung nicht erfüllt ist, so fällt der Beweis weg, dass 

 durch ^'y^ theilbar ist und es kann nur durch die Ausführung der Division oder überhaupt 

 auf irgend eine andere Weise entschieden werden , ob diese Theilbarkeit stattfindet oder 

 nicht. Wenn sie nicht stattfindet, so werden spätere Beispiele zeigen, dass dann in gewissen 

 Fällen der integrirende Faktor eine andere Gestalt annimmt, welche aber doch auf das 

 engste an die vorläufigen Lösungen geknüpft ist. 



* 



