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Dr. Ferd. Min ding, 



Man erhält also für x = r, M,-+- N,z, = 0 und ~^- N,z^— 0, daher wenn z, nicht 



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= ist, M, = 0 und N, = 0 für x= r. 



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Wenn aber das ganze Polynom — nur durch x — r, nicht aber durch dessen 

 Quadrat theilbar ist, so ist 



<i ІУі — Уі) fQj, _ ^ n\ç\\i = О 



dx 



also auch z, nicht = ; also folgt , dass unter dieser Voraussetzung das ganze Polynom 

 Л^, durch X — r theilbar ist, wo r eine "Wurzel von y^ — y.^ = 0 ist, und da derselbe Schluss 

 von jeder Wurzel dieser Gleichung gilt, auch alle Wurzeln von einander verschieden sein 

 sollen, so ist УѴ, durch y^ — y.^ theilbar. Bezeichnet y.^ eine dritte Lösung, ebenfalls ein 

 ganzes Polynom, so folgt auf gleiche Weise, dass iV, durch y^ — y^ theilbar ist, wenn alle 

 Wurzeln der Gleichung y, — Уо = ^ von einander verschieden sind, und hieraus ist weiter 

 zu schliessen, dass iV, durch das Produkt — Уз^Су, — У^) theilbar sein muss, wenn zu den 

 vorigen Bedingungen noch die hinzutritt, dass keine Wurzel von y^ — У2 — ^ irgend einer 

 von — .«/4=0 gleichkomme. Also wird überhaupt durch {y^ — î/g) — 2/3) theilbar 

 sein, wenn die Gleichung (y^ — 2/2^*^1 — Уг^— ^ keine gleiche Wurzeln hat. Nimmt man 

 die noch übrigen Lösungen nach und nach hinzu, so ergiebt sich, dass das ganze Polynom 

 durch (г/, — i/^) (j/, — 2/3) • • • • (2/1 — У^^) — фѴі theilbar sein muss, wenn die Gleichung 



r\)'y^ — 0, [ф = (j/ — y^) (y — j/^) {y — y^) gesetzt wie früher] keine gleiche Wurzeln hat. 



Ebenso muss durch ^'y^ = (y^ — j/,) {y^ — 2/3) • • • • (Уц — 2/,j.) theilbar sein, wenn die Glei- 

 chung ф'уа ~ ^ ^^^^ ungleiche Wurzeln hat, u. s. w. Sind also die ganzen Polynome 

 У\і У2 - • • ' У[^-> welche als Lösungen der obigen Gleichung angenommen waren, so beschaffen, 

 dass keine der Gleichungen ф'г/, = 0, «j^V-j = 0 . . . . ^'y^ = 0 irgend zwei gleiche Wurzeln 



darbietet, so müssen die ganzen Polynome Л^,, JS\ der Reihe nach durch t];'?/,, фѴг^ 



u. s. w. theilbar sein. 



Wenn daher ТѴ^ und von gleichen Graden sind, so ist ihr Quotient constant, 

 und unter den entsprechenden Bedingungen sind es Q^^ Q^....Q^ ebenfalls. Allgemein 

 sind aber diese C^,, Q^.. . . im gegenwärtigen Falle, wie bewiesen ist, ganze Polynome; 

 es kann sich nun treffen, dass diese sämmtlich nur durch constante Faktoren von einander 

 abweichen, so dass man hat: Q^ = q^X^ Q^ = q^X, . . . . = 9^ЛГ, wo X ein ganzes Poly- 

 nom; dividirt man alsdann mit X, so bleibt nur noch zu untersuchen, ob der in Hinsicht 



auf y ungebrochene Theil der verwandelten Differentialgleichung, nämlich ob ^'^у 

 vollständiges Differential ist oder nicht. 



In Anwendungen findet sich nicht selten G= 0, H=0, oder H= 0 und G = f{x); 

 in diesen Fällen ist die Frage sogleich erledigt ; oder es findet sich überhaupt , dass 

 G(kû-^ndy genaues Differential ist = dU; alsdann ist auch das Integral der Gleichung 

 gefunden ; man erhält nämlich 



dil = dU4-q/-^-^4r-...,4-q/-^^^. 



Ï1 И — 2/1 ^і^ y — y. 



