Beithäge zur Integration der Differentialgleicbungen erster Ordnung. 



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ist, wird durch die Rechnung sofort entschieden; ferner muss ^ ein vollständiges 



Dilferential sein, worüber ebenfalls leicht entschieden wird. 



Durch den hiermit genugsam bezeichneten Gang der Rechnung wird die Schwierig- 

 keit der Integration einer Gleichung, deren Integral die oben vorausgesetzte Form in der 

 That besitzt, zwar nicht ganz gehoben, aber doch lediglich auf die Ermittelung der vor- 

 läufigen Lösungen zurückgeführt, welche in das Integral eingehen. Denn sobald diese und 

 zwar alle gefunden sind, so führt die weitere Rechnung ganz sicher zum Ziele, wofern 

 dieses überhaupt erreichbar ist, d. h. wofern das Integral die obige Form wirklich hat. 

 Indem ich für jetzt bei dieser Voraussetzung beharre, welche übrigens bei sehr vielen der 

 bisher untersuchten Gleichungen, z. B. der Eul er 'sehen, zutrifft und also der Brauch- 

 barkeit nicht ermangelt, darf ich noch bemerken, dass die Schwierigkeit, die nöthigen vor- 

 läufigen Lösungen zu finden, kaum jemals unüberwindlich sein möchte. Entschieden ist 

 sie viel geringer als die, wirksame Substitutionen zu entdecken, ich möchte sagen zu er- 

 rathen, wofür gar kein Princip vorhanden ist und was auch bei einer grösseren Anzahl 

 der erforderlichen Lösungen, wenn deren Formen nicht sehr einfach sind, überhaupt gar 

 nicht mehr gelingen kann. 



Die Lösungen, welche im vorliegenden Falle in das Integral eingehen, sind — wie 

 schon oben gesagt wurde — unvollständige (particulare) Integrale, zu den Werthen 0 oder oo 

 der Constante gehörend; sie werden daher in der Regel vor anderen Lösungen, welchen 

 andere Werthe der Constante entsprechen, eine gewisse Einfachheit der Form voraus ha- 

 ben, wie ein Blick auf die Integralgleichung sofort erkennen lässt. Möglich ist es freilich, 

 dass auch sehr einfache Lösungen, welche sich vorfinden, doch nicht in den Ausdruck des 

 Integrals eintreten; wofern jedoch alle für das Integral erforderliche Lösungen gefunden 

 sind, so können die noch ausserdem gefundenen Lösungen den Erfolg nicht vereiteln, in 

 sofern es bei näherer Prüfung möglich sein wird sie auszuschliessen. 



Ohne diese Betrachtungen weiter fortzusetzen, hoffe ich gezeigt zu haben, dass durch 

 die vorgezeichnete Methode ein zwar — wie alle andern — sehr beschränktes, aber inner- 

 halb seiner Grenzen wirksames und nicht leicht ersetzbares Hülfsmittel zur Integration 

 gegeben ist. 



§ 3. Einen ganz besonderen Werth aber gewinnt dieses Mittel da, wo es möglich ist, 

 aus der Form der Differentialgleichung und der gefundenen Lösungen zu beweisen, dass 

 die Grössen Q^, O.^-- • zu einander in constanten Verhältnissen stehen müssen. 



Es seien M und N ganze Polynome nicht allein nach «/, sondern auch nach äc, und 

 die gefundenen Lösungen 2/, , 2/2 • • • • 2/[л seien ebenfalls ganze Polynome nach x. Man setze 

 Ух — У^і so erhält man eine Gleichung in von welcher r irgend eine Wurzel sei. Nach 

 der Voraussetzung ist für jedes x, 1/, -t- iV^ ^ = 0, M,^-\- nJ~ = Çi; für x = r aber wird 

 wegen y^ = y^ auch M^ = M^, N^ = N^; es seien ferner der Kürze wegen und die 

 Werthe von ^ und ^ für x = r. 



dx dx 



Mémoires de l'Acad. Imp., des Sciences, Vllme Série. • 2 



