8 Dr. Fe RD. Minding, 



§ 2, Es ist einleuchtend, dass die vorhin gebrauchte Schlussfolge eine nicht bloss auf 

 jenes Beispiel eingeschränkte Bedeutung hat. Sind M und N ganze Polynome in Bezug 

 auf y und denkt man sich , dass durch eine vorangegangene Untersuchung gewisse Funk- 

 tionen von œ, nämlich У^і У^і Уг - • -У^ ^^^^ viele unvollständige Lösungen der Diffe- 

 rentialgleichung Mdx -H Шу = 0 ermittelt sind ; so wird sich auf dem schon durch das 

 vorige Beispiel angedeuteten Wege das Integral jener Gleichung in dem Falle leicht finden 

 lassen, wenn es in folgender Form darstellbar ist, in welcher U ein ganzes Polynom nach 

 у anzeigen soll, nämUch in der Form: 



iy — У,)^^ iy — y.f- iy — y/^ = Const. 



Denn zuvörderst ist klar, dass У^іУ^ - • - У^ unvollständige Lösungen der vorliegenden Diffe- 

 rentialgleichung sind, den Werthen 0 oder der Constante entsprechend, wenn, wie ich 

 jetzt annehme, das Litegral in der That die obige Form hat. Unter dieser Voraussetzung 

 ist also 



M^dx -H N^dy^ = 0, M^dx -ь IS^dy^ = 0, u. s. w. bis M^dx -+- IS^dy^ = 0. 



Es sei noch ф = (j/ — y^{y — y^ {y — y^^ und da M und N ganze Polynome in y sind, 



auch die Funktionen y^^y^ y^ hier nicht anders als jede von jeder anderen verschieden 



gedacht werden können, so erhält man durch Zerlegung in einfache Brüche, die unge- 

 brochenen Theile mit G und Я bezeichnend , 



Ф Ф'г/і(2/— Уі) Ф'2/(х(2/— 2/^л)' Ф Ф'з/і (г/ — î/i) 



daher 



Mdx -t- Ndy M.dœ N.dy M,j.dx -t- Nu.dy 



■ j = Gdx -+- Hdy -p — - ^ -H . . . . -H -г4 — 



Ф ^ Фг/і(2/ — ) Ф 2/|л (г/ — 2/fx) 



Da ferner M^dx-л- N^dy^ = 0, u, s. w. so ergiebt sich durch Wegschaffung der М^М^ 



Mdx-^my ^ Gdx-^Hdy-^-^ • ^-^l^^. . . ■ -4--/?^ ■ llm^. 



Der Ausdruck rechter Hand, gleich Null gesetzt, ist also die gegebene Differentialgleichung 

 selbst, in etwas veränderter Gestalt, in der Form: 



у — Уі y — y^i 

 und da beide Formen mit einander übereinstimmen müssen, so folgt, wenn noch zur Ab- 

 kürzung das Zeichen щ- = , = ' gesetzt wird und ein Faktor X eingeführt 



wird, der bloss von x abhängen darf: 



Gdx-^Hdy=XdU, q,X=Q^, q^X= Q^. . . .q^X= Q^. 



Unter den gegenwärtigen Voraussetzungen müssen also die Grössen Q^, Q^. . . Produkte 

 aus Constanten in eine und dieselbe Funktion von x sein , und ob dies wirklich der Fall 



