Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 



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jedem gemeinsamen constanten Faktor befreit sind, welcher = 0 gesetzt den Divisor ф 

 selbst untauglich machen würde. Aber während der Ausdruck 



b^y) dy 



die Eigenschaft eines vollständigen Differentials behält, welche Werthe den a, 



auch beigelegt werden mögen, so ändert sich in gewissen Fällen die Form seines Integrals, 

 worüber, um nichts Erhebliches zu übergehen, noch Folgendes beigebracht werden mag: 

 Wenn = ist , so erhält man 



a, = Цг-г— = а. 



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Alsdann ist [у — ij^f der integrirende Divisor und das Integral erhält die in nachstehender 

 Gleichung angegebene Form, von deren Richtigkeit man sich leicht durch eine kurze Rech- 

 nung überzeugen kann, nämlich: 



(o -+- a^x -+- a^y) dx-t-{b-i- b^x -+- b^y) dy di^'*' ~*~ _j_ J — 



(y — a.x — ß)2 \ у — a.x — ß / 2 у — ах — ß * 



Wenn ferner a^b, — a^b^ = 0 ist, so sei a^ = ka^^ b^ = kb^; die gegebene Gleichung wird 

 dann folgende : 



[a H- (kx -+- y)] dx -+-[b-^ b^ {kx -i- y)]dy = 0. 

 Sie bietet nur eine lineare Lösung dar, nämlich 



j p.. a — bk 



y, = — kx — С lur С = — — ^ . 



Geht man nun auf die höher entwickelte Formel für а zurück, so würde die zweite 

 Lösung gegeben werden durch а^-л-Ь^а. = 0, ß = — a^Ta. '^ voraus kein endlicher Werth 

 von ß gefunden wird, wenn nicht etwa noch a-i-6a = 0 sein sollte, was nur ein höchst 

 vereinzelter, und, wie sogleich zu erkennen ist, ganz unerheblicher Fall sein würde. 



Es besteht also jetzt eine lineare Lösung und sie allein bildet auch den integrirenden 

 Divisor, mit welchem sogleich gefunden wird : 



[g -f- {kx ■+- y)] da; -н [6 -и Ь^ {kx у)] dy ^ dx-\-b dv ("2^ — "^г) <^ (У f"^) ^ 



y-t-kx-^-c 2 2" y-i-kx-i-c 



In Uebereinstimmung hiermit geht auch der allgemeine integrirende Divisor in dem gegen- 

 wärtigen Falle, da ^ = 0 ist, in eine lineare Form über. Ueberhaupt aber wurde dieser 

 Ausnahmefälle deshalb besonders erwähnt, um darauf hinzuweisen, dass in jedem Falle 

 der integrirende Divisor nur aus den eben vorhandenen linearen Lösungen gebildet wird. 



