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Dr. Ferd. Mikding, 



Der wichtigste Schritt in vorstehender Integration besteht in dem Beweise, dass die 

 mit 0^ und bezeichneten Grössen unabhängig von x sein müssen. Obgleich dieser Be- 

 weis keinen Zweifel zulässt, wenn nur von verschieden ist, so wird es doch dem 

 Leser vielleicht willkommen sein, denselben Schluss auch durch die wirklich ausgeführte 

 Division noch nachträglich bestätigt zu sehen. 



Mit dem obigen Werthe von ß in a findet man : 



und hiermit sofort : 

 sowie 



У-У2= - ^2) a!bl - Zl) ' 



also geht in der That — j/.^ Л"^ auf, wie als nothwendig schon erkannt war. Dem Vor- 

 stehenden zufolge ist ^ ein integrirender Faktor, oder 



Ф = (г/ — a, — ßi) (î/ — S-^ — ^2) 



ein integrirender Divisor der vorgelegten Gleichung. Die Constante С ist beigefügt, um 

 nachher einen Nenner fortzuschaffen. Entwickelt man das Produkt mit Hülfe der Werthe 

 der symmetrischen Funktionen von und und setzt zur Abkürzung 



^1 h — S^i — ^ ' "^1 — "1^ = ^1 5 — ^2^ = ^2 



so wird erhalten 



b^A' (y-cL^oc-§;) (y-a^œ-^^) = [Ay-B^f -н {Ь^ а^) {Ах -н В^) (Ау-В^) [Ах -f- ß J. 



Hierbei ist noch zu bemerken, dass b^B^^ — {b^-t- a^)B^B^-t- а^В^ durch А theilbar ist, 

 nämlich = {аВ^ — ЬВ^ А ; daher hat auch das vorstehende Polynom zweiten Grades den 

 Faktor А und man erhält schliesslich den integrirenden Divisor von jedem überflüssigen 

 Faktor befreit in folgender Gestalt : 



^ = A [Ь/-л- {Ь^чг-а^) хуч-а^х'] ч- [(б^н- а^) В- 26^6,] У и- [2a^ß а^) х аВ-ЬВ^. 



Diesen integrirenden Divisor hat auch Euler in § 486 der Instit. vollständig entwickelt, 

 aber ausgehend von der Verwandlung der Gleichung in eine homogene und ohne zu be- 

 merken, dass jener Divisor in zwei Faktoren ersten Grades zerlegbar ist, welche als lineare 

 Lösungen leicht aus der Differentialgleichung selbst gefunden werden und auf dem gera- 

 desten Wege zur Erledigung der Aufgabe führen. 



Die Herleitung des integrirenden Divisors gründete sich auf die Annahme, dass 

 nicht = und a^b^ — a^b^ nicht = 0 war, insofern dieser Ausdruck als Nenner von ß 

 auftrat. Es verdient jedoch bemerkt zu werden, dass der gëfundene integrirende Divisor 

 in allen Fällen ohne Ausnahme richtig bleibt und bleiben muss, nachdem seine Theile von 



