Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 5 



Zähler und Nenner von gleichen Graden. Ferner ist M^dx ■+- N^dij^ = 0, oder, da (t^da;, 

 M -+-N a. = 0 und ebenso Ж -+- N^a^ = 0, für ieden Werth von x. Bezeichnet nun x den 



Iii* i^jS'" 



Werth von X, für welchen y, = wird, also den Werth x = ~ so ist klar, dass dieser 



Werth von X, indem er = y^ macht, auch die Gleichheit von mit und die von iV, 

 mit herbeiführt, da M^, ^2 aus М^, hervorgehen, wenn y^ für y^ gesetzt wird. Es ist 

 also für x = X : 



oder es ist für x = x: 



Ж,-і-іѴ,а^ = 0 und M^-^N^oL^ = 0; 



mithin (a^ — a^) = 0, und da nach der Annahme — nicht = 0, so ist für x = x, 

 N^ = 0 und zugleich = 0. Folglich ist theilbar durch x — x und mithin auch durch 

 f]>'y^ = {a^ — (i^){x — x); also ist, da TV, = (6, -HÖ^aJ^n-ö-t-ö^ß,, 



1 <Ь'Уі «1 — «2 ^ 



eine von ж unabhängige Grösse, wie behauptet wurde. Auf gleiche Weise ergiebt sich 



^2 «2-«! "/2 



daher erhält man schliesslich : 



Mdx-+-Ndy ^ d{y — y^) ^ n . '^^^ ~ — dQ, 



wobei ich ein für allemal bemerke, dass das oft wiederkehrende Zeichen rfO überall nichts 

 anderes besagen soll, als dass der ihm gleichgesetzte Ausdruck ein vollständiges Differen- 

 tial ist. Sind und reell, so ergiebt sich hieraus das Integral: 



Û = l0g[(y — 



wären aber unter Voraussetzung reeller a und ft, die Wurzeln und a,^ complexe Grössen, 

 nämlich a, = fl' -4- Аг, ol^ = g — Лг, г = V — 1 , so ergäbe sich hieraus = m -+- ni, 

 §^ = m — ni, q^ = r-h- ti, q^ = r — ti. 



Setzt man nun y — gx — m = U cos ф , hx-\-n= ?7sin ф , so wird 



à(y — 2/1) dV ., 

 У — Уі и т-' 



und man erhält 



oder 



dQ = r^-i- td(^ 



О = r log {y — gx — m)-+-t arctg " 



y — gx — m 



Solche Umgestaltungen werde ich jedoch später als genugsam bekannt übergehen. 



