4 Dr. Ferd. Minding, 



bekanntlich eine lineare zu nennen pflegt. Wird nämlich dieser Werth von y in die Glei- 

 chung eingesetzt, und das hieraus entstehende Polynom nach x geordnet, so kommt: 



a -4- a^ß -t- (6 -»- ögß) ^ [^1 ~*~ ^2°^ ~^ ^a"') a] ж = 0 



und dieser Bedingung geschieht unabhängig von x durch aundß Genüge, wenn gesetzt wird: 



а H- a^ß H- (6 ft^ß) a = 0 

 a^-+- -+- (6^-4- б.^а) a = 0. 



Die zweite dieser Formeln giebt für a eine Gleichung zweiten Grades: 



b^a? H- -H 6,) a H- 0 ; 



aus der ersten folgt sodann für ß der Werth : 



n a 6a 



welcher sich auf folgende Gestalt bringen lässt, wenn mittels der vorhergehenden Gleichung 

 a aus dem Nenner weggeschafft wird : 



Die vorliegende Gleichung bietet daher zwei lineare Lösungen dar, nämhch y^ = a^x-t-^^, 

 y^ = oL^x-t~ß^, wenn durch und die beiden Wurzeln der Gleichung für a und durch 

 ß, und ßg die jenen zugehörigen ß bezeichnet werden. Es sei noch = а-+- a^x-t- а^у^ 

 und N^ = b b^x -+-b^y^, d. h. es seien und iV^ die aus der Annahme y = y^ hervor- 

 gehenden Werthe von M und iV, und ebenso und die гм y=y^ gehörigen M und IS; 



ferner sei ф = (y — «/,) (y — 2/2) ^'"d der Werth von ^ für г/ = у^ werde bezeichnet durch 



j so dass фѴ, = 2/i — У 21 also auch ф'уг — У2 — Уѵ so ergiebt sich durch Zerlegung in 

 einfache Brüche, unter Voraussetzung, dass y^ von y^ verschieden ist: 



Mdx -+- Ndy Ml dir -H N^dy l/jd« -•- N^dy 



Ф Ф'2/1 (у — Уі) Ф'2/2 (2/ — 2/2) * 



Hieraus können mit Hülfe der Gleichungen M^dx 4- JS^dy^ = 0 und M^dx N^dy^ = 0, 

 und weggeschafft werden, wodurch erhalten wird; 



Mdx -t- Ndy _ Nid{y — y{) ^ Njd (y — y^ 

 Ф Ф'2/і(2/ — î/i) Ф'г/2(2/— У2)* 



Die Voraussetzung, dass y^ von y^ verschieden sei, wird bestehen, wenn von ver- 

 schieden ist, was ich für die nächstfolgende Betrachtung annehme, welche die Brüche 



-^=a, ^= a betrifft. 

 Ф 2/1 1' Ф2/2 2 



Einige Aufmerksamkeit auf diese Brüche führt leicht zu dem Schlüsse, dass beide 

 unabhängig von x sein müssen. Denn es ist iV^ = ô н- б^ж-ь б^Са^я; -»- ßj ein Polynom 

 ersten Grades nach x ; dasselbe gilt von — У^ — У 2 = ("'i — ßi — ß2 ' ^^^^ ^^"^ 



