Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 



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Substitutionen und Transformationen ersetzen lassen, sondern für diese Classe von Glei- 

 chungen unentbehrlich bleiben. 



Die Aufgabe, den integrirenden Faktor einer Difierentialgleichung aus ihr selbst zu 

 finden, bezeichnet Lagrange in der 13. Vorlesung als eine solche, von welcher keine 

 allgemeine Lösung zu hoffen sei; gewiss mit vollem Recht. — Dann aber stellt sich als 

 Ziel heraus, wenigstens die Fälle, in welchen sich der integrirende Faktor durch die be- 

 kannten Elementarformen vollständig darstellen lässt, von allen andern zu scheiden und 

 zur Erledigung zu bringen. Dazu hofft der Verfasser durch vorliegende Arbeit einen an- 

 nähernden Schritt gethan zu haben. 



Dorpat, im März 1860. 



Erste Abtheilung, 



enthaltend alfgemeine Sätze. 



§ 1. Um dem Leser sogleich die erste und zunächstliegende Art zu zeigen, wie vor- 

 läufige Lösungen sich zur Integration von Differentialgleichungen — unter geeigneten Um- 

 ständen — benutzen lassen, beginne ich mit der einfachsten Differentialgleichung, welche 

 weder homogen noch linear ist, noch die Trennung der veränderlichen Grössen etwa durch 

 blosse Umstellung gestattet, nämlich mit der Gleichung 



{a -i- a^x a^y) dx-\-{b-\- b^x b^y) dy = 0, 



welche ich auch zur Abkürzung mit Mdx -i~ Ndy — 0 bezeichne, so dass 



M = a -+- a^x -t- a^y , N = b -t- b^x -\-b^y ist. 



So allgemein bekannt das Integral dieser Gleichung ist, so hat man es doch bisher 

 niemals, so viel ich weiss, auf andere Weise hergeleitet, als durch Einführung neuer ver- 

 änderlicher Grössen, welche die Gleichung in eine homogene verwandeln. Es wird daher 

 in Hinsicht auf die Methode von einigem Belange sein, zu zeigen, wie es bei einem andern 

 Gange der Betrachtung ganz entbehrlich wird, neue veränderliche Grössen einzuführen. 



Um gewissen scheinbaren Ausnahmefällen zu entgehen, setze ich voraus, dass in 

 obiger Gleichung b^ nicht = 0 ist. Denn gesetzt auch, es wäre anfängUch b^= 0, so 

 brauchte man nur x mit y zu vertauschen, um an der Stelle von b^ydy in obiger Gleichung 

 a^ydy zu erhalten. Diese Aenderung würde erfolglos bleiben, wenn auch noch a^ — 0 wäre; 

 allein die Annahme: b^ = 0 und a, = 0, würde augenscheinlich die ganze Aufgabe ver- 

 nichten und daher unstatthaft sein. 



Versucht man zunächst der gegebenen Gleichung auf irgend eine Weise zu genügen, 

 so ergiebt sich leicht, dass dies geschehen kann durch die Form: y = clx ~+- welche man 



