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Dr. Ferd. Minding, 



Art von Untersuchungen gegeben zu haben, liess sie aber damals als ihm einstweilen fern- 

 liegend fallen, in der Hoffnung, dass das einfachere Verfahren sich Geltung verschaffen 

 und der eröffnete Weg von Anderen weiter verfolgt werden würde. — Nachdem er aber in 

 neueren Schriften, so viele hierher gehörige er zu sehen Gelegenheit hatte, überall nur 

 das Gegentheil seiner Erwartung bestätigt gefunden, nämlich überall nur die alten Metho- 

 den wiederholt und des Späteren mit keinem Worte gedacht — ; so ist ihm bei weiterem 

 Nachdenken mehr und mehr die Nothwendigkeit klar geworden, nochmals auf die Sache 

 zurückzukommen und das früher nur Angefangene durch eine umfassendere Untersuchung 

 mehr zu ergründen und zu erweitern. 



Das Ergebniss seiner Bemühungen legt der Verfasser hiermit dem mathematischen 

 Publikum in Gestalt eines abgesonderten Heftes vor, welches er als eine Beilage zu den 

 Lehrbüchern der Integralrechnung betrachtet zu sehen wünscht, indem er glaubt, dass die 

 hier mitgetheilte Methode, abgesehen von ihrem nächsten wissenschaftlichen Zwecke, auch 

 als eine reichhaltige Quelle sehr lohnender Uebungsbeispiele dem Unterrichte gute Dienste 

 leisten kann. Um dem Bedürfnisse Studirender so weit als nöthig war entgegen zu kom- 

 men, hat der Verf. es nicht an Erläuterungen fehlen lassen, die unter anderen Umständen 

 zum Theil entbehrlich gewesen wären; doch wird als bekannt vorausgesetzt, was die Lehr- 

 bücher über die Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung vorzutragen pflegen. 



Bei den linearen Differentialgleichungen höherer Ordnung lässt sich bekanntlich das 

 allgemeine oder vollständige Integral aus unvollständigen Lösungen (particularen Integra- 

 len) durch blosse Addition bilden. Bei nicht linearen Gleichungen kann ein Gebrauch un- 

 vollständiger Lösungen für die Integration, wenn überhaupt, doch nur in ganz anderer, 

 von den besonderen Umständen abhängiger Weise gedacht werden ; auch ist ein solcher 

 nur selten vorgekommen, aber er ist nicht ganz unbekannt. Im vierten Capitel sagt Euler 

 darüber folgendes : Saepemmero qiiidem cognüio integralis particularis ad inventionem completi 

 viam patefacit, quemadmodum in hoc exemplo usu venit cet. — Interdum autem integrale parti- 

 culare pariim iuvat ad completnm investigandum , vehiti si habeaiur haec aequatio cet. — So un- 

 leügbar der zweite Satz ist, so würde Euler doch auch auf den ersten grösseres Gewicht 

 gelegt haben, wenn ihm der entschiedene Vortheil nicht entgangen wäre, welchen die Be- 

 nutzung unvollständiger Lösungen bei seinen eigenen Beispielen gewährt. 



Von dieser Thatsache ausgehend habe ich in vorliegender Schrift näher untersucht, 

 unter welchen Umständen der integrirende Faktor — oder vielmehr eine seiner unzähligen 

 Formen — aus unvollständigen Lösungen, die ich in Rücksicht auf ihren Gebrauch für 

 das Integral auch gern vorläufige nenne, sich bilden lässt. Es hat sich dadurch eine aus- 

 gedehnte Classe von Differentialgleichungen ergeben, welcher eine bestimmte, aber viel 

 umfassende Form des integrirenden Faktors entspricht und deren Integration durch die 

 Benutzung vorläufiger Lösungen zwar nicht von jeder Schwierigkeit befreit, aber doch in 

 hohem Grade erleichtert wird. Wenn auch in einzelnen Fällen solche Gleichungen ohne 

 jenes Hülfsmittel integrirt werden konnten, allgemein wird es sich durch keine Art von 



