Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 



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Wird nuD für o, der obiffe Werth ——^^ gesetzt, so kommt: 



(C3 -b c^a^) (Л,а,' H- Aga/) = cji.a,^' -i- [cJk^ -f- cji^) a;' c^h.^cL^\ 

 und wenn hieraus mittels der Gleichung 



die vierte Potenz von a weggeschafft wird, so erhält die rechte Seite die Form 

 Demnach wird: 



also mit Weglassung aller schon als ungültig bekannten Theile : 



.3 аЗ\ 



oder da der eingeklammerte Faktor = 1 ist, Dg = 0, d. h. es ist: 



Da Ф immer ein integrirender Divisor der vorliegenden Gleichung ist, so folgt, dass 

 die allgemeine Form des Integrals so lange gültig bleibt, als 4" in vier von einander ver- 

 schiedene Faktoren zerfällt, also namentlich auch noch dann, wenn zwar gleiche a vor- 

 handen sind, zu denen aber ungleiche ß gehören. Dieser Fall kann nur eintreten, wenn 

 der Zähler von ß durch den Nenner c^-i-o^a theilbar ist. Wenn aber dieser Umstand 

 nicht stattfindet, so gehören zu gleichen a auch gleiche ß und die Form des Integrals er- 

 leidet dann Aenderungen, welche schon früher genugsam erörtert sind. 



§ 23. Beispiele. Es seien = b^ = 2, alle übrigen a und 6 — 1, auch X = jt — 1, 

 so wird r 



M= 1 -f- 2x 4- y -t- Зх^ 4- xy — y^ -i- 2x''y -H xy^ 

 N = 1 ~i- X -i- y -i- 2 x^ -i- 2 xy — 2 ж" — x^y , 

 Mdx -+- Ndy — 0 , 

 3-H3a-i-2ß-»-aß-ba' = 0 

 1 -Hß — ß'-H(l-t-lS)a^O, 



2a''H- lla^H- 24a^-»- 25a-i- 11 =: 2 .cpa = 0, 



daher 



auch hat man 



8 = = 4-нУа-і-7а -+-2a 



г о _j_ ГУ ' 



