Beiträge zir Imegration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 



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Die Gleichung in a ist folglich vom vierten Grade mit der dreifachen Wurzel a= 0. 

 Für a = 0 ergiebt sich nun Ін-ß — 2ß^ = 0, also ß=l und ß= — i; für a= — 1 

 wird ß = 0. Da hiermit nur drei Werthe von ß gefunden sind, so muss einer davon dop- 

 pelt zählen. Entwickelt man die Gleichung für ß, so hat man zunächst a= — 1, und 

 hiermit wegen a-j-a' — aß = 0: 



(2ß-^-ß-l)(l-ß-l-^-l)=:0 



oder 



(2ß' — ß— l)(ß' — ß) = 0, d. i. (ß— lf(2ßH- l)ß = 0. 



Demnach ist 



a,-0,ß,=:l; a,-0,ß,,-l; a3-0,ß3 = — |; a., = — \,^=0, 



oder 2 



y, = y.2= 1' 2/3 = — Ь ^4 = — ^ und ^ = {y—\) (2/ H- (г/ -H Ж). 



Da das obige M sich auch also schreiben lässt : 



so erhält man 



(l-t- x){l — y) {\ 2y) dx -i- (l -t- X -t- y x'^ 4:xy -+■ 2x''y) dy 



(2/— 1)4»/-+- 



Zur Darstellung von О entwickele man : 



N 26-+-18Ж— 14y Uy — 4Ж-+ -9 26 -«-1 8 a; - Uy „ 



und setze demnach : 



N ^ 26-«-18ж— 14?/ „ , , .2 

 (^'йгГ^)=^^У^ = 9 



so wird 



also für у = = 1 : 

 daher wird schliesslich : 



\3y — 3/ 9 y—l 9 2/-4-І У-+-Х 



Um noch ein Beispiel zu entwickeln, sei ii. = 0, also die erste der im Eingange des 

 § 22 aufgestellten Gleichungen zwischen a, ß und den gegebenen а und Ь mit der dritten 

 identisch. Man erhält für ^i, = 0 : 



M = а a^x -i- a^y -i-\ax^ -\- (Ib — b^)xy +-\a^x^ у ч-\Ь,ху' 



N = b b^x b,,y -+- b.^x — \a.^x^ — Xb^^x'y ; 



(6,^ а -H а^) ß ч- 6 a -I- a -— 0 



б^а^ -I- (а^ -4- 6|) a ~н X6.,ß' -л- (Xb — 6^) ß -н = О ; 



