Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen ehster Ordni ng. 79 

 oder mit etwas veränderter Anordnung der Glieder : 



[ОуХ -H g (j/ -t- g)] dx -+- [biX -t- b (y g)] dy -+- gl (ax -t- by) xdx -+■ [l [ax н- by) — cj x (ydx — xdy) 



[l [ax -t- byf -+- {bgl — c) (o.r by) -t- й,6 — а6,] [(о, -ь (/с) -ь (а -н 6,) ж (î/ -+- g) -ь 6 (j/ ч-- 3)2] '^' ' 



WO alle Constanten ganz beliebige Grössen sind. 



Sei z. B. а = 4 , = 0 , 6=1, 6, = О , с = 2, g =: 2, 1=1, so erhält man : 



(8 -1- 4j/ -1- 8a;- -H іж-г/ -I- жг/-) da; -1- (2 -b 2/ -b 2a:;- — 4a;^ — x-y)dy 



t4a;-f-2/)2 (2 2/ н- 2)2 — 



, ^ 1 / X 1 \ 1 , 2 a; -»- w -H 2 



il — ^[-. 3 ~, -4- -log — , . 



г\2х-і-у-л-1 4-хч-уІ 4 ^ ix-i-y 



Die vorstehende Formel ergab sich aus der Annahme, dass der Zähler von ß (im 

 vorigen §) durch den Nenner theilbar und zugleich jx = 0 war. Lässt man die Beschrän- 

 kung des Werthes von ji. fallen, so findet man eine umfassendere, aber auch weitläufigere 

 Formel, deren hier noch kurz erwähnt werden mag. 



Wenn der Nenner von ß, nämlich с^ан-^-д, im Zähler aufgeht, so ist zu setzen: 

 [(ög -f- b,) OL' {a,^ -t- 63) a H- = (c, ^ и-- с^) {(ja -л- к) 

 und für а = — Cg wird : 



(a„ -H 6^) Og'^ — («,^ -H 63) c,c^ -+- agC,^' = 0. 



Zieht man die zweite Gleichung von der ersten ab und dividirt den Unterschied durch 

 c,a -H Cg, so folgt r 



i'h — <^s) (^''. ^3) ^4 = ; 



daher ergeben sich 



(/ = [a.. -H 6J c,^, A- = («,^ 63) c,^ — {(L -+-b^)c.^. 

 Unter diesen Umständen hangen a und ß von folgenden Gleichungen ab : 



«gß^ -j- 6^aß -b 6a H- a,ß л = 0. 

 Sei nun erstens c^a -+- = 0, so folgt für ß die Gleichung : 



^('ff ((^''a — K%) ^ (^''i — == 0 , 



deren Wurzeln ß, und ß, zu ft^-= a,^ = — ^ gehören. Hieraus bilde man das Produkt : 



