Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 81 



Die allgemeine Formel in vollständig entwickelter Gestalt hier niederzuschreiben, wie es 

 im vorangegangenen Falle (für = 0) geschehen ist, würde zu viel Kaum erfordern. 



So vielen Stoif nun auch der Fortgang zu höheren Graden der Роіз^оте M und Л' 

 noch darbieten würde, so genügt doch das Vorangegangene, um den Nutzen nachzuweisen, 

 welchen die Aufsuchung vorläufiger Lösungen für die Integration einer ausgedehnten 

 Classe von Differentialgleichungen gewährt, deren erschöpfende Behandlung zukünftigen 

 Arbeiten vorbehalten bleiben muss. 



§ 24. Zum Schlüsse mögen hier noch einige Bemerkungen folgen über die Integra- 

 tion der Gleichung Mdx -+- JSdy — 0, wenn M und N nach x und y ganze Polynome zweiten 

 Grades mit beUebigen Vorzahlen sind. Denn nachdem im Obigen so verschiedene beson- 

 dere Fälle dieser Form ihre Erledigung gefunden haben, ist es kaum möglich der Frage 

 nach dem allgemeinen Integrale dieser Gleichung auszuweichen, worüber nirgends eine Aus- 

 kunft gegeben worden ist. Gewiss ist dieses Integral eine sehr verwickelte und durch die 

 bekannten Formen nur in Reihen darstellbare Funktion ; ich gebe hier, da ich eine so 

 wichtige und naheliegende Aufgabe nicht ganz mit Stillschweigen übergehen mochte, die 

 einfachste Réduction, welche ich habe finden können, ohne ihre Unvollkommenheit zu 

 verkennen. 



Durch Einführung von x -ь- к für x und у -^h für у denke man sich die Polynome 

 M und IS von ihren constanten Gliedern a und 6 befreit ; es sei also : 



M = ci^x -+- a^y -+- a^x^ fi^ xy -+- a^y^ 



N = h^x -H b^y -+- b^x^ bj^xy ■+- b^y^, 



auch sei b^ nicht =0; denn wäre b^ = 0 und bliebe es trotz jeder linearen Substitution, 

 so hätte man die Jacobi'sche Gleichung (§ 17). 



Für y = tx und wenn noch der Kürze wegen gesetzt wird : 



a,^ -+- ii^t -+- а/ ~i- (63 -H b^t -b b/) t= F{i)=: F 



a^-i-a^t-t-{b^-i-b,^t)t = f{t) = f 



63 H- b^t H- b/ = 9(0 ==9, b^-t- b^t = Щ == 



erhält man 



Mdx -+- Ndy = (F . X' -i- f. x) dx -t- ((^ . x^ -h- ^ . x^)<ll 



oder 



Mdx -+- Ndy , cp . xdt 'bdt f dx 



^Tf^ — h y~ ^ ;p • - • 

 Nun sei J = log T, so folgt : 



J\(mx -t- Ndy) _ , s T^dt Tf dx 



Jlémoirps Г.Ло.ті. Imp. Леч Scionces, \ Mmo Série. 11 



