Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 



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Soll nun für den gegebenen Werth von <, welchem к = 0 entspricht, r einen gege- 

 benen Werth haben, so muss dieser als von der Constante Л abhängig gedacht werden, 

 also z^ = 9(/i) sein, und da hier überhaupt z durch eine Reihe nach Potenzen von h aus- 

 gedrückt werden soll, so muss auch z^^ diese Form zulassen; also sei: 



=0 Ф = К l'J' ^J' ^ ■ ■ ■■ 



Alsdann ergiebt sich : 



und die Differenzen U^^ — /г^, U^ — k^, müssen für и = 0 alle verschwinden. Daher wird 



0 



k,-^fQdi\, = u. s. w. 



0 ''' 



wodurch nach und nach beliebig viele Glieder der verlangten Reihe bestimmt werden. 



§ 25. Schliesslich mag noch eines Beispiels von Integration durch Reihen erwähnt 

 werden, welches in so fern belehrend ist, als es zeigt, wie viel dabei auf die Wahl des Argu- 

 ments der Reihe ankommt. Tn § 174 des Lehrbuches der Integralrechnung von Moigno 

 wird die Aufgabe gestellt, aus der Gleichung 



dy = [x^ -+- y^) dx 



den Werth von у für zu finden, unter der Voraussetzung, dass für œ = 0 auch 



y = 0 sei. Durch eine ziemlich mühsame Anwendung des Restausdruckes der Taylor- 

 schen Reihe wird dann gefunden, dass der gesuchte Werth von y zwischen 1.18879 und 

 1.37687 liegt. 



Es scheint der Mühe nicht unwerth, der dortigen Betrachtungsweise eine Reihe für y 

 zur Vergleichung gegenüber zu stellen; doch hat die vorliegende Aufgabe das Eigenthüm- 

 liche, dass sie die Entwickelung von y nach ganzen Potenzen von œ nicht erlaubt, wenn, 

 mit œ zugleich y verschwinden soll. Diese Schwierigkeit fällt aber gänzlich weg und es 

 ergiebt sich eine sehr wohl convergirende Reihe, wenn nach Potenzen der vierten Wurzel 

 von X entwickelt wird. Sei n= Vœ, x = n' und demnach die vorgelegte Gleichung 



(ly = 4 {u' -+- y^) гі dit. 



Setzt man nun, da für м = 0, «/ = 0 sein soll : 



y = ^u*^(] -+- а^гі -t- а,,г«^ -i- a^n^ -^- . . . .) 



У y = ]/^ . II" (1 -t^ c^u-+- c^u' -+- cjt"^ -4- . . . . ) , 



^^0 = 



