Beiträge zur Integration der Differentialglkichungen erster Ordnung. 



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Anhang. 



Während meine Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen etc. etc. gegen- 

 wärtig auf Verfügung der Kaiserlichen Akademie gedruckt werden, habe ich mich mit 

 der bisher ganz unberührt gelasseneu Frage beschäftigi : welche xinwendung die dort be- 

 nutzten Mittel bei Differentialgleichungen höherer Ordnungen, oder auch bei der ersten 

 Ordnung, aber mehr als zwei veränderlichen Grössen, finden könnten. War diese Anwen- 

 dung schon im einfachsten Falle von sehr beschränktem Umfange, so wird sie weiterhin 

 verhältnissmässig noch viel seltener möglich sein ; dessen ungeachtet ist sie gewiss nicht 

 unfruchtbar, ja sie eröffnet vielmehr künftigen Untersuchungen ein ausgedehntes Gebiet. 

 So viel ich bis jetzt ersehen konnte, scheint der Versuch unvollständige Lösungen für die 

 Integration zu benutzen, bei Differentialgleichungen höherer Ordnungen weniger unmittel- 

 baren Erfolg zu versprechen, als bei Systemen erster Ordnung mit drei oder mehr verän- 

 derlichen Grössen, welche ich hier zum Gegenstande einiger Betrachtungen machen will. 



Allem zuvor ist eine Verständigung darüber nöthig, in welchem Sinne bei Systemen 

 von Differentialgleichungen erster Ordnung von unvollständigen Lösungen die Rede sein 



kann. Sind P, P^, P.,, ■ . ■ . P^ beliebige Funktionen von x, oc^, œ^, х^, so ist bekannt, 



dass die Integration der n Gleichungen 



dx:dx-.dx-. -.dx = P : P, : P ....... P 



I 2 n 1 2 n 



zusammenfällt mit der Aufgabe: n verschiedene Funktionen il zu finden, welche der fol- 

 genden partiellen Differentialgleichung genugthun, nämlich: 



^ Ii *~ P,7, ^- Л л ^ ■ ■ P„:, — =0. 



Sind Op il^, . . . . diese Funktionen und y,, y^, .... eben so viele willkürliche (kon- 

 stanten, so stellen die Gleichungen = = y,, . . . . il^ = das vollständige System 

 der verlangten Integrale dar. Mittels irgend einer dieser Gleichungen — sei sie ß = у — 

 lässt sich X durch x^, x_^ x^ und die Constante у ausdrücken ; daher ist auch 



^•;^H-^=:0, u. s. w. ; folglich genügt der aus І2 = -y entspringende Werth von x 



der partiellen Differentialgleichung : 



