88 Dr. Ferd. Min ding, 



p =^ p _|_ p _j_ -+- P 



in SO fern nämlich in den verschiedenen P jener Werth für x eingesetzt wird. Legt man 

 nun der Constante y irgend einen bestimmten Werth 7' bei, so ist О = y' eine unvollständige 

 Lösnny der vorstehenden partiellen Differentialgleichung. 



Jede Lösung mit einer willkürlichen Constante steht zu den ursprünglichen Differen- 

 tialgleichungen in solcher Beziehung, dass sich aus diesen mit Hülfe gewisser integrirender 

 Faktoren /'^, /.^, • • -4 ^^^^ Summe bilden lässt, welche dem vollständigen Differentiale dQ 

 gleichkommt, so dass man hat: 



/, [P^dx — Pdœ^) -4- 4 (P,^dœ — Pdœ^) -н . . . . -н ^ {PJœ — PdocJ = dû, 

 oder wenn zur Abkürzung gesetzt wird : 



so ist 



Qdx H- Q^dx^ H- Q^dx,^ -н Q„dx^^ = dû. 



Da nämlich il als gegeben gedacht wird, so werden auch die unbekannten /' sofort gefun- 

 den aus den Gleichungen : 



.. p d ii ,, p dÇî f и 



l\ '2 d^'"-""' In d^' 



Die hiermit ebenfalls gefundenen Q genügen stets der Bedingung : 



PQ-^P,Q,^P,Q,-^....-^P„Q^=^0. 



Wird die Gleichung 0 = 7 nach x aufgelöst und der Werth von x in dQ.z=Qdx-i-Q^dx^-t- 

 .... H- Q^doc^ eingesetzt, so folgt, da dO = 0 : 



Qdx -+- Q^dx^ -+-.... -i- Q^dx^^ = 0. 



Diese Folgerung ist unabhängig von dem Werthe der Constante у und gilt also auch für 

 jede unvollständige Lösung 0 = у'; eine solche giebt daher, wenn die Q durch die f aus- 

 gedrückt werden : 



/; dx — Pdx^)^ {P^^dx — Pdx.^ -H . . . . H- {PJx — PdxJ = 0. 



Hiermit ist der Zusammenhang einer unvollständigen Lösung mit den ursprünglichen 

 Differentialgleichungen dargelegt ; sie gestattet nämlich ein der vorstehenden Gleichung 

 genügendes System der /'zu finden. In Rücksicht dieses Zusammenhanges kann die unvoll- 

 ständige Lösung, welche zunächst nur der partiellen Differentialgleichung in x angehörte, 

 auch eine unvollständige Lösung des vorgelegten Systems von Differentialgleichungen, 

 wenigstens der Kürze des Ausdrucks wegen, genannt werden. 



