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Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 89 



Der in § 9 aufgestellte Satz über gewisse Formen des integrirenden Faktors kehrt 

 hier in folgender Gestalt wieder. Angenommen, die obigen / haben alle einen gemeinsamen 

 Faktor und seien demgemäss jetzt bezeichnet durch 



auch sei mit den gegenwärtigen /' 



so ist wie oben: 

 und man hat: 



e'^(Qdx -+-Q^dx^-\- QJx,^ и- и- Q^dxJ = dil. 



Wird nun vorausgesetzt, dass die Q ganze Polynome in Bezug auf x sind, frei von jedem 

 allen gemeinschaftlichen Faktor, deren Glieder übrigens in beliebige Funktionen von x^, 

 x,^, x^ multiplicirt sein können; dass ferner folgende Gestalt hat: 



F-f- Г-ь 7, H- r^-+- . . . . -•- 

 wo V ein ganzes Polynom in x ist ; ferner : • 



^ e ]og{x — y) 



u. S. w. für alle Г; 



y, v,, . . . . «/^ beliebige Funktionen von ж,, x^^ x^, jede von jeder ^Äderen ver- 

 schieden ; 



/7,, U^. . . . L\ ganze Polynome nach ж, die Grade der zugehörigen Nenner nicht errei- 

 chend und keinen Faktor mit ihnen gemein habend, übrigens beliebig 



in Bezug auf ж,, x,^ x^\ 



e, e^, S Constanten ; 



/с, , . . . . positive ganze Zahlen oder auch Null ; 



alles dieses vorausgesetzt, so sind x=:y, x = y^^ ^ = «/v eben so viele unvollständige 



Lösungen des vorgelegten Systems von Differentialgleichungen. 



Beweis. Der Werth von dü fordert zunächst die Gleichheit von mit d. i. 



dx, dx ' 



Nach dem Obigen ist 



dQ dÇi ^ dW ^dW 



dx^ dx ' ^1 dx ^ dxy ' 



dT 1 kV ^ г dT dü 1 _^ kV dy £ dy_ 



dx dx [x — y)^ [x — y)*"^' X — y* dx^ dxy (x — (x — y}^^~^~^ dx^ x — у dx^ 



Mémoires de ГАс.кІ. Imp. des Sciences, Vllme Série. 12 



