Beitkäge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 91 

 Man setze als unvollständige und vorläufige Lösung, worin die ^ Constanten anzeigen : 



so folgt 



Zur Abkürzung sei : 



6 -i- [X/^ -H [X^ 6^ -H . . . . H- [X^ 6^ = ß 



к H- [x/-^ -4- [х^/г^ -H . . . . -t- іх^А^ ^ Ж 



so verwandelt sich P н- ix,P^ -+-.... = 0 in 



-ь- ßiC| Cœ^ -»-....-*- ЛГж^ -ь Я= 0. 

 Hiervon abgezogen J (л; -н [х,^^ -н . . . . -н [х^ж^ -t-f-o) — ^ giebt : 



{В — 4|х,) а;, -ь (С— ^іх^) н- . . . . и- (/<:— -t- Я— Л^х, = 0. 



Damit diese Gleichung unabhängig von œ^, bestehe, muss sein: 



ß — ^tx, = 0, С — ^1x^ = 0, .... ЛГ— Л[х^ = 0, Я — ^tx„ = 0. 



Es ist aber В — Л^х^ = b-t-{b^ — А) jx, н- ô^^J^^ ~^ K^n 5 daher erhält man, um zu- 

 nächst die [x alle durch A auszudrücken : 



Ь H- (6, — ^)ix, -H 6,tx.^ -t- .... -H 6^ix^^ = 0 

 с -t- c,ix, (C^ — Л) [X^ H- . . . . -H c,^ix„ = 0 



к ч~ Л,1х, -H Л^іх^ H- .... -I- (Ä;,^ — Л) |x,^ = О , 



wozu noch die Gleichung A\i^ = H kommt, welche jx^ bestimmt, sobald [x^, [x^ [х^ ge- 

 funden sind. 



Es seien [X| = ^, ^х.^ = ^, = die Werthe der jx aus vorstehenden Glei- 

 chungen, so ist ihr gemeinschafthcher Nenner M in Bezug auf A vom n'^" Grade, während 

 die Zähler nur den (n — 1)'"° Grad erreichen; folglich erhält man durch Einsetzung dieser 

 Werthe in a — Л -+- jx, -+-....-+- ^х^а^ = 0 für Л die Gleichung (n -+- 1)*^° Grades, welche 

 die wesentliche Grundlage für die Integration gewährt , nämlich : 



Z={a — A)M^a^M^-i- a^M.^ -i- . . . . ~i- а^М^ = 0. 



Diese Gleichung bleibt dieselbe bei jeder linearen Substitution, wodurch das vorliegende 

 System von Differentialgleichungen in ein anderes von ähnlicher Gestalt verwandelt werden 

 kann. Jede ihrer Wurzeln giebt eine vorläufige Lösung ; setzt man 



