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Dr. Ferd. Minding, 



X=A(Mx-t-M^x^4-....4-M^xJ-i-MH 

 = M{Ax-^h)^M^ {Ax^ -f- /1,) -+- {Ax^ V /g H- . . . . -H (Ax^^^ hj 



so ist X— 0 die allgemeine Form solcher zur Wurzel A gehöriger Lösung. Werden nun 



mit 31, 5ln verschiedenen Wurzeln A der Gleichung Z=0 bezeichnet, die 



ihnen zugehörigen X der Reihe nach mit X, X_^ ЛГ^, so erhält man sofort das 



Integral 



a = y log J H- log -4- log -*-••••-»- Уп log ^„ , 



wo die (/ Constanten sind. In der That folgt hieraus, wenn die zu 9( gehörigen M durch 

 Ш, 3)?,, die zu 3t, gehörigen durch Ш?', 9JÎ,', 9)î,/. ... u. s. f. bezeichnet werden: 



ll\L — ^ "~" ■ — I — — =" — I — .... 



Setzt man hier P für dx, P^ für dx^,.... P^ für dx^^ so muss der vorstehende Ausdruck 

 in Null übergehen, wenn О wirklich ein Integral ist; es ist aber klar, dass dies geschieht, 



weil й)г/^ H- 9J?,/*, ..... H- Ш^Р^ J, » -b- $Ш;Р, -ь H- Ш'^Р^ = -Y,, u. s. w., 



sobald nur die q der nachstehenden Bedingung unterworfen werden : 



S= Щ 3(,y, -K 31,9.^ .H- 3(,</„ 0. 



Es stellt aber die hiermit gefundene Gleichung 



X'^ . X^h . Ж/2 . . . . Xjn = Const. mit der Bedingung 5== 0 



oder 



3(7-H3t,r/,H-3t,9,-H....-b-3t„7„ = 0 



nicht bloss ein Integral, sondern vielmehr alle Integrale der Aufgabe auf einmal dar, mit 

 Ausnahme gewisser besonderer Fälle, die ich für jetzt bei Seite lasse. Im Allgemeinen 



sind die Wurzeln 3t, 3t, 3t^ alle von einander verschieden, keine gleich Null und für 



keine geschieht es, dass alle dazu gehörigen Ш gleich Null werden, wodurch das ent- 

 sprechende X in eine blosse Constante oder in Null übergehen und seine Bedeutung als 

 Lösung verlieren w^rde. Unter diesen im Allgemeinen zutreffenden Voraussetzungen lässt 

 sich der Bedingung S =0 immer auf n und nicht mehr verschiedene oder von einander 

 unabhängige Arten genugthun; am einfachsten geschieht es durch die Annahmen: </= 1, 

 3t H- 3t Уда = 0, alle übrigen у = 0; wo m nach und nach = 1, 2, 3 .... n zu setzen ist. 

 Hiermit ergeben sieh folgende n verschiedene Integrale mit eben so vielen willkürlichen 

 Constanten : „ „ * 



X. = c;, X. J/2 = c^,....x x% = 



oder wenn man für die y, , q^. ■ . . ihre Werthe setzt : 



= 6, X;\ r^-^- = 6, . r^" = (â„ XJ\ 

 Jedes andere Integral folgt aus diesen. 



