Beiträge zur Intégration der Differentialgleicbungen erster Ordnung. 



93 



Eine durchgreifende Behandlung der vorhin augedeuteten Ausnalimefälle ist nicht 

 ohne Umständlichkeit möglich und mag daher einer künftigen Gelegenheit vorbehalten 

 bleiben. Wie die Gestalt des Integrals sich verwandelt, wenn die Gleichung /=0 gleiche 

 Wurzeln hat, die jedoch nicht Null sind, — dies ergiebt sich leicht aus der allgemeinen 

 Form durch Variation der Constanten. Ist 31 = 0 eine Wurzel jener Grundgleichung Z, 

 so lässt sich durch eine lineare Substitution die ursprüngliche Anzahl der in den P be- 

 findlichen Argumente x^....x^^ wenigstens um eine Einheit erniedrigen, wodurch die 

 Aufgabe auf die Integration eines Systems von n — 1 Gleichungen vorliegender Art mit 

 n Argumenten zurückgeführt wird. Sind die n — 1 Integrale dieses Systems bekannt, so 

 erhält man das noch fehlende n'" Integral durch eine Quadratur, welche übrigens schon in 

 den einfachsten Fällen sowohl wegen der dazu nöthigen Eliminationen als der Integi'ation 

 selbst die Macht der Analysis weit übersteigt. Wenn der Ausdruck Z sich in das Produkt 

 zweier oder mehrerer von einander unabhängiger Determinanten zerlegen lässt, so zer- 

 fallen die gegebenen Differentialgleichungen in eben so viele getrennte Gruppen, deren 

 jede für sich allein integrabel ist; die nach Integration dieser Gruppen noch fehlenden 

 Integrale werden ebenfalls durch Quadraturen gegeben. Es bestehen noch andere Aus- 

 nahmefälle; ich begnüge mich aber hier nur noch einige Beispiele folgen zu lassen. 



Merkwürdig einfach ist die Integration des Systems : 



üC y X Г) X <^ X X , 



Man findet Z= Â'^'^^ — 1=0 und hiermit n Integrale von folgender Form : 



С (x X ^ -h- x^-t- . . . . -h- xj = (ж H- rXj -+- и*', 1 f'x.^ -f- .... H- r'^xj^ 



wo für r nach und nach die verschiedenen (н н- 1)'"" Wurzeln der Einheit, mit Ausnahme 

 der Wurzel 1, zu setzen sind. Die Richtigkeit dieser Integration wird auch ganz leicht 

 durch Differentiation unmittelbar bewiesen. — Es seien z. B. nur zwei Gleichungen dieser 



Art gegeben, nämlich ^ = = so kann man die Integrale zu folgenden, von V — 1 



befreiten Formen verbinden : 



C^{x -t~ у -i- z) = (x Ч- ry r^zf (л; r^y -+- rzf'; (r^ r н- 1 = 0) 

 С,, {x -\- у zf = {x ry H- r'zf . [x r^y -H rzf . 



Ueberhaupt wenn die Gleichung Z complexe Wurzeln hat, so ist klar, dass es immer mög- 

 lich ist, durch zweckmässige Verbindung der Integrale das Imaginäre auszuscheiden, sobald 

 nur die in den P befindlichen Constanten alle reell sind. 



'/9^ d% 



Wird aus — = =z — z weggeschafft, so erhält man die Differentialgleichung zweiter 

 Ordnung 



