Beiträge zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung. 95 



Inhalt. 



Seite. 



Einleitung 1 



Erste Abtheilung, enthaltend allgemeine Sätze. 



§ 1. Integration der Gleichung {ач- a^x -t- a^y) dx -+- {b -i- b^x ч- b^y) dy = 0 mittels vor- 

 läufiger Lösungen 3 



§ 2, § 3. Unter welchen Umständen sich dasselbe Verfahren auf andere Gleichungen anwen- 

 den lässt 8 



§ 4. Anwendung auf die Gleichung Mdx-i-Ndy = 0, wenn Mund N nach x und у ganze Po- 



Ij'nome vom и"^" Grade sind und ihr w-f- 1 lineare Lösungen zukommen 12 



§ 5. Wenn der integrirende Faktor die Form bat, wo ^z=(y — y,) (y — y^) .... und X 



nur von X abhängt, so sind i/j, у 2, Lösungen der gegebenen Differentialgleichung . . 14 



§ 6. Dasselbe gilt auch wenn ф = (t/ — j/J^' (1/ — ■ • ■ ■ ist und die Exponenten X positive 



ganze Zahlen sind. Nähere Entwickelung des Integrals für diesen Fall 17 



§ 7, § 8. Anwendung auf einige Aufgaben von Euler 22 



§ 9. Allgemeinste Form des integrirenden Faktors, welche sich aus vorläufigen Lösungen bil- 

 den lässt 29 



§ 10. Untersuchung eines besonderen Falles dieser Form 33 



§ 11, § 12, § 13. Entwickelung einiger Gleichungen, deren integrirender Faktor besagte Form hat. 34 

 § 14. Bemerkung über eine Form des integi'irenden Faktors, welche in keiner Beziehung zu 



unvollständigen Lösungen steht 42 



§ 15. Ueber eine Erweiterung der Regel für die Integration homogener Differentialgleichungen. 44 

 Zweite Abtheilung, Anwendungen enthaltend. 



§ 16. Untersuchung der Gleichung Mdx Ndy — 0 , worin Mund N nach x und y ganze Po- 

 lynome vom zweiten Grade sind, wenn sie drei lineare Lösungen hat 47 



§ 17. Besonderer Fall: die von Jacobi behandelte Gleichung 54 



§ 18. Beispiele zu § 16 58 



§ 19, § 20. Eine Differentialgleichung, deren vorläufige Lösungen nicht linear sind 65 



§■21. Beispiele zu den beiden vorigen §§ 70 



§ 22. Untersuchung einer Classe von Differentialgleichungen, worin M und N auf den dritten 



Grad steigen und welche vier lineare Lösungen darbieten 71 



§ 23. Beispiele nebst Entwickelung eines besonders einfachen Falles 75 



§ 24. Anhang über die Integration von Mdx~i-lVdy = 0 durch Reihen, wenn M und iV nach 



X und y ganze Polynome vom zweiten Grade sind 81 



§ 25. Bemerkung über die in dem Lehrbuche des Herrn Moigno behandelte Gleichung 



dfi = (x^ -{-y^) dx 85 



Anhang 87 



