Mémoire sur un cas particulier de l'homographie plane. 3 

 Si l'on se donne par exemple la fonction p, on trouvera 



? =J% 



Le cas le plus simple est celui, dans lequel p et g sont deux fonctions linéaires; elles 

 doivent avoir la forme 



p = rx sy -л- (t\ , 



^ , «> (4) 



q ~ SX ty -\- ^ 



pour que la condition d'intégrabilité (3) soit satisfaite. Alors l'équation de la surface (1) 

 devient 



• 'S = I {гзс^ -+- 2 sxy H- ïî/^) -f- аж -H H- Y (5) 



■y étant une constante arbitraire. 



On tire des formules (4) les valeurs de ж et t/ en fonction de p et ç, savoir 



_ t(p-a)-s(q- ß) 1 



> (6) 



r(g-ß)-5(p- g) I 



y — ^rri2 ) 



Si l'on veut que ces valeurs soient toujours finies et déterminées pour des valeurs finies de 

 p et on doit avoir 



rt — s^^o. 



Alors, la surface du second ordre, représentée par l'équation (5), doit être un paraboloïde 

 elliptique ou hyperbolique. 



Les relations (4) étant admises, si l'on fait décrire au point {зо,у) une figure quelcon- 

 que, le point correspondant {p,q) décrira une figure homographique , c.-à-d. telle, qu'à 

 une droite de la première correspond une droite de la seconde, ou, plus généralement, à 

 une ligne algébrique de l'ordre n de la première figure correspond une ligne algébrique 

 du même ordre de la seconde; cela résulte de ce qu'une équation algébrique en л; et y du 

 dégré n se transforme au moyen des formules (6) en une équation algébrique du même 

 dégré n par rapport à et Si le point {x, xj) s'éloigne à l'infini, le point (p, q) s'éloignera 

 aussi à l'infini; par conséquent à deux droites parallèles de la figure {x, y) correspon- 

 dent deux droites parallèles dans la figure (p^ q) ^). 



Les aires de deux figures correspondantes ont un rapport constant qui est 



c,-à-d. la valeur absolue du discriminant de la fonction homogène 



i [rx^ H- 2sxy H- ly^). 



1) Suivant les géomètres allemands les points (x, y) et 

 (p,q) décrivent deux figures collinéaires (collinear- ver- 

 wandt). La prémière dénomination est introduite par M. 

 Chasles, et la seconde par M. Möbius. 



2) Ce cas particulier de collinéation les allemands 

 nomment: affinité (Affinität). 



