4 J. SOMOFF, 



En effet, à un rectangle infiniment petit 



dxdy, 



dont les sommets adjacents sont: • 



{x, y), {x H- dx, y), (x, y-h-dy) 



correspond un parallélogramme infiniment petit, dont les sommets sont: 



Or, l'aire de ce parallélogramme est la valeur absolue du déterminant, dont les éléments 

 sont les différences de ces coordonnées, savoir: • 



d'où l'on voit que le rapport des éléments correspondants des aires des deux figures ho- 

 mographiques que nous considérons est la constante 



par conséquent ce même rapport appartient aux aires totales. 



L'équation (5) fait voir, que l'axe des est parallèle à l'axe du paraboloïde, et que 

 par conséquent le plan {xy) est un des plans conjuguées de ce dernier axe. Transportant 

 l'origine des coordonnées au sommet du paraboloïde et prenant les axes des nouvelles 

 coordonnées parallèles aux axes primitifs, on réduira l'équation (5) à la forme 



z = \ {rx^. H- sxy -j- /«/^). 



Faisant ensuite disparaître le rectangle xy^ en changeant les directions des axes л;, y, 

 on aura l'équation du paraboloïde sous la forme 



z=^\{:rx^^ty\ 



et les relations (4) prendront alors la forme la plus simple 



p = rx, q = ty (7) 



Rien n'empêche de supposer r positif et > ou — rp «. 



Ces relations étant données, on peut transformer la figure {x,y) en (p, q) de la manière 

 suivante: on tracera une figure (^, yj) semblable et semblablement placée à celle de {x,y) de 

 manière que l'origine des coordonnées soit le centre de similitude et que le ra-pport des 



longueurs homologues soit^; on fera ensuite la projection orthogonale de cette seconde 

 figure sur un plan qui passe par l'axe des x et dont l'angle avec le plan (xy) a pour cosi- 

 nus et l'on rabattra le plan de la projection sur le plan de la figure projetée, en le 



faisant tourner autour de l'axe des x. La position que prendra alors la projection, sera la 

 figure demandée (j9, ç). En effet: désignant par ^ et y] les coordonnées de la seconde figure 



